Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55875 / 87115
↖ ↑ ↗
← S 50.866645°
W 26.534729°		 ← 192.76 m → S 50.866645°
W 26.531982°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.868378°
W 26.534729°		 ← 192.76 m →
37 149 m²		 S 50.868378°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426296234130859 y=0.664638519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426296234130859 × 217)
    floor (0.426296234130859 × 131072)
    floor (55875.5)     		tx = 55875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664638519287109 × 217)
    floor (0.664638519287109 × 131072)
    floor (87115.5)     		ty = 87115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55875 / 87115 ti = "17/55875/87115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55875/87115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55875 ÷ 217
    55875 ÷ 131072     		x = 0.426292419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87115 ÷ 217
    87115 ÷ 131072     		y = 0.664634704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426292419433594 × 2 - 1) × π
    -0.147415161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46311839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664634704589844 × 2 - 1) × π
    -0.329269409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.03443035690119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46311839} λ = -0.46311839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03443035690119))-π/2
    2×atan(0.355428790826588)-π/2
    2×0.341502948408933-π/2
    0.683005896817865-1.57079632675     		φ = -0.88779043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46311839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.534729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88779043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.866645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55875 KachelY 87115 -0.46311839 -0.88779043 -26.534729 -50.866645
    Oben rechts KachelX + 1 55876 KachelY 87115 -0.46307045 -0.88779043 -26.531982 -50.866645
    Unten links KachelX 55875 KachelY + 1 87116 -0.46311839 -0.88782068 -26.534729 -50.868378
    Unten rechts KachelX + 1 55876 KachelY + 1 87116 -0.46307045 -0.88782068 -26.531982 -50.868378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88779043--0.88782068) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88779043--0.88782068) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46311839--0.46307045) × cos(-0.88779043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631127483140819 × 6371000     		do = 192.762578572496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46311839--0.46307045) × cos(-0.88782068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631104018558628 × 6371000     		du = 192.755411885116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88779043)-sin(-0.88782068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631127483140819-0.631104018558628)×R²
    abs(-0.46307045--0.46311839)×2.34645821919344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34645821919344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34645821919344e-05×40589641000000     		ar = 37149.0436506607m²