Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55875 / 12983
↖ ↑ ↗
← N 80.792752°
W 26.534729°		 ← 48.87 m → N 80.792752°
W 26.531982°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.792312°
W 26.534729°		 ← 48.87 m →
2 391 m²		 N 80.792312°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426296234130859 y=0.0990562438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426296234130859 × 217)
    floor (0.426296234130859 × 131072)
    floor (55875.5)     		tx = 55875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990562438964844 × 217)
    floor (0.0990562438964844 × 131072)
    floor (12983.5)     		ty = 12983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55875 / 12983 ti = "17/55875/12983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55875/12983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55875 ÷ 217
    55875 ÷ 131072     		x = 0.426292419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12983 ÷ 217
    12983 ÷ 131072     		y = 0.0990524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426292419433594 × 2 - 1) × π
    -0.147415161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46311839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990524291992188 × 2 - 1) × π
    0.801895141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51922788573281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46311839} λ = -0.46311839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51922788573281))-π/2
    2×atan(12.419004070538)-π/2
    2×1.49044792587614-π/2
    2.98089585175229-1.57079632675     		φ = 1.41009953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46311839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.534729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41009953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.792752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55875 KachelY 12983 -0.46311839 1.41009953 -26.534729 80.792752
    Oben rechts KachelX + 1 55876 KachelY 12983 -0.46307045 1.41009953 -26.531982 80.792752
    Unten links KachelX 55875 KachelY + 1 12984 -0.46311839 1.41009185 -26.534729 80.792312
    Unten rechts KachelX + 1 55876 KachelY + 1 12984 -0.46307045 1.41009185 -26.531982 80.792312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41009953-1.41009185) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41009953-1.41009185) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46311839--0.46307045) × cos(1.41009953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160006064688925 × 6371000     		do = 48.8699707120708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46311839--0.46307045) × cos(1.41009185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160013645735327 × 6371000     		du = 48.872286158778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41009953)-sin(1.41009185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160006064688925-0.160013645735327)×R²
    abs(-0.46307045--0.46311839)×7.58104640175006e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58104640175006e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58104640175006e-06×40589641000000     		ar = 2391.22912726564m²