Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55874 / 16961
↖ ↑ ↗
← N 78.869518°
W 26.537475°		 ← 58.95 m → N 78.869518°
W 26.534729°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.868988°
W 26.537475°		 ← 58.95 m →
3 474 m²		 N 78.868988°
W 26.534729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426288604736328 y=0.129405975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426288604736328 × 217)
    floor (0.426288604736328 × 131072)
    floor (55874.5)     		tx = 55874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129405975341797 × 217)
    floor (0.129405975341797 × 131072)
    floor (16961.5)     		ty = 16961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55874 / 16961 ti = "17/55874/16961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55874/16961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55874 ÷ 217
    55874 ÷ 131072     		x = 0.426284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16961 ÷ 217
    16961 ÷ 131072     		y = 0.129402160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129402160644531 × 2 - 1) × π
    0.741195678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.32853489904423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46316632} λ = -0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32853489904423))-π/2
    2×atan(10.2628943366026)-π/2
    2×1.47366455023907-π/2
    2.94732910047813-1.57079632675     		φ = 1.37653277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37653277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.869518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55874 KachelY 16961 -0.46316632 1.37653277 -26.537475 78.869518
    Oben rechts KachelX + 1 55875 KachelY 16961 -0.46311839 1.37653277 -26.534729 78.869518
    Unten links KachelX 55874 KachelY + 1 16962 -0.46316632 1.37652352 -26.537475 78.868988
    Unten rechts KachelX + 1 55875 KachelY + 1 16962 -0.46311839 1.37652352 -26.534729 78.868988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37653277-1.37652352) × R
    9.25000000018272e-06 × 6371000     		dl = 58.9317500011641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37653277-1.37652352) × R
    9.25000000018272e-06 × 6371000     		dr = 58.9317500011641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46316632--0.46311839) × cos(1.37653277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193043996593105 × 6371000     		do = 58.9483066790196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46316632--0.46311839) × cos(1.37652352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193053072593285 × 6371000     		du = 58.951078144859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37653277)-sin(1.37652352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193043996593105-0.193053072593285)×R²
    abs(-0.46311839--0.46316632)×9.07600018071331e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.07600018071331e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.07600018071331e-06×40589641000000     		ar = 3474.00853569381m²