Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55874 / 13010
↖ ↑ ↗
← N 80.780878°
W 26.537475°		 ← 48.92 m → N 80.780878°
W 26.534729°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.780438°
W 26.537475°		 ← 48.92 m →
2 394 m²		 N 80.780438°
W 26.534729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426288604736328 y=0.0992622375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426288604736328 × 217)
    floor (0.426288604736328 × 131072)
    floor (55874.5)     		tx = 55874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992622375488281 × 217)
    floor (0.0992622375488281 × 131072)
    floor (13010.5)     		ty = 13010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55874 / 13010 ti = "17/55874/13010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55874/13010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55874 ÷ 217
    55874 ÷ 131072     		x = 0.426284790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13010 ÷ 217
    13010 ÷ 131072     		y = 0.0992584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992584228515625 × 2 - 1) × π
    0.801483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51793358944307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46316632} λ = -0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51793358944307))-π/2
    2×atan(12.4029405973366)-π/2
    2×1.49034431207026-π/2
    2.98068862414052-1.57079632675     		φ = 1.40989230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40989230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.780878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55874 KachelY 13010 -0.46316632 1.40989230 -26.537475 80.780878
    Oben rechts KachelX + 1 55875 KachelY 13010 -0.46311839 1.40989230 -26.534729 80.780878
    Unten links KachelX 55874 KachelY + 1 13011 -0.46316632 1.40988462 -26.537475 80.780438
    Unten rechts KachelX + 1 55875 KachelY + 1 13011 -0.46311839 1.40988462 -26.534729 80.780438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40989230-1.40988462) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40989230-1.40988462) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46316632--0.46311839) × cos(1.40989230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160210621306957 × 6371000     		do = 48.9222405498835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46316632--0.46311839) × cos(1.40988462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160218202098536 × 6371000     		du = 48.9245554357891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40989230)-sin(1.40988462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160210621306957-0.160218202098536)×R²
    abs(-0.46311839--0.46316632)×7.58079157908709e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.58079157908709e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.58079157908709e-06×40589641000000     		ar = 2393.78663894252m²