Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55873 / 16963
↖ ↑ ↗
← N 78.868458°
W 26.540222°		 ← 58.97 m → N 78.868458°
W 26.537475°		 →
↑
58.93 m
↓
↑
58.93 m
↓
N 78.867928°
W 26.540222°		 ← 58.97 m →
3 475 m²		 N 78.867928°
W 26.537475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426280975341797 y=0.129421234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426280975341797 × 217)
    floor (0.426280975341797 × 131072)
    floor (55873.5)     		tx = 55873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129421234130859 × 217)
    floor (0.129421234130859 × 131072)
    floor (16963.5)     		ty = 16963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55873 / 16963 ti = "17/55873/16963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55873/16963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55873 ÷ 217
    55873 ÷ 131072     		x = 0.426277160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16963 ÷ 217
    16963 ÷ 131072     		y = 0.129417419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426277160644531 × 2 - 1) × π
    -0.147445678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.46321426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129417419433594 × 2 - 1) × π
    0.741165161132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32843902524499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46321426} λ = -0.46321426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32843902524499))-π/2
    2×atan(10.261910441097)-π/2
    2×1.47365529587328-π/2
    2.94731059174656-1.57079632675     		φ = 1.37651426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46321426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.540222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37651426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.868458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55873 KachelY 16963 -0.46321426 1.37651426 -26.540222 78.868458
    Oben rechts KachelX + 1 55874 KachelY 16963 -0.46316632 1.37651426 -26.537475 78.868458
    Unten links KachelX 55873 KachelY + 1 16964 -0.46321426 1.37650501 -26.540222 78.867928
    Unten rechts KachelX + 1 55874 KachelY + 1 16964 -0.46316632 1.37650501 -26.537475 78.867928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37651426-1.37650501) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dl = 58.9317499997495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37651426-1.37650501) × R
    9.24999999996068e-06 × 6371000     		dr = 58.9317499997495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46321426--0.46316632) × cos(1.37651426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193062158388813 × 6371000     		do = 58.9661525918617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46321426--0.46316632) × cos(1.37650501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193071234355939 × 6371000     		du = 58.9689246258373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37651426)-sin(1.37650501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193062158388813-0.193071234355939)×R²
    abs(-0.46316632--0.46321426)×9.07596712568237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.07596712568237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.07596712568237e-06×40589641000000     		ar = 3475.06024361832m²