Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55873 / 12973
↖ ↑ ↗
← N 80.797145°
W 26.540222°		 ← 48.85 m → N 80.797145°
W 26.537475°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.796706°
W 26.540222°		 ← 48.85 m →
2 387 m²		 N 80.796706°
W 26.537475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426280975341797 y=0.0989799499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426280975341797 × 217)
    floor (0.426280975341797 × 131072)
    floor (55873.5)     		tx = 55873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989799499511719 × 217)
    floor (0.0989799499511719 × 131072)
    floor (12973.5)     		ty = 12973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55873 / 12973 ti = "17/55873/12973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55873/12973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55873 ÷ 217
    55873 ÷ 131072     		x = 0.426277160644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12973 ÷ 217
    12973 ÷ 131072     		y = 0.0989761352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426277160644531 × 2 - 1) × π
    -0.147445678710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.46321426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0989761352539062 × 2 - 1) × π
    0.802047729492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.51970725472901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46321426} λ = -0.46321426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51970725472901))-π/2
    2×atan(12.4249587831914)-π/2
    2×1.49048626777833-π/2
    2.98097253555667-1.57079632675     		φ = 1.41017621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46321426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.540222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41017621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.797145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55873 KachelY 12973 -0.46321426 1.41017621 -26.540222 80.797145
    Oben rechts KachelX + 1 55874 KachelY 12973 -0.46316632 1.41017621 -26.537475 80.797145
    Unten links KachelX 55873 KachelY + 1 12974 -0.46321426 1.41016854 -26.540222 80.796706
    Unten rechts KachelX + 1 55874 KachelY + 1 12974 -0.46316632 1.41016854 -26.537475 80.796706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41017621-1.41016854) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41017621-1.41016854) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46321426--0.46316632) × cos(1.41017621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159930372161315 × 6371000     		do = 48.846852265813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46321426--0.46316632) × cos(1.41016854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159937943430654 × 6371000     		du = 48.8491647263536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41017621)-sin(1.41016854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159930372161315-0.159937943430654)×R²
    abs(-0.46316632--0.46321426)×7.57126933881302e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57126933881302e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57126933881302e-06×40589641000000     		ar = 2386.98577844355m²