Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55872 / 15680
↖ ↑ ↗
← N 79.528647°
W 26.542969°		 ← 55.51 m → N 79.528647°
W 26.540222°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.528148°
W 26.542969°		 ← 55.51 m →
3 080 m²		 N 79.528148°
W 26.540222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426273345947266 y=0.119632720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426273345947266 × 217)
    floor (0.426273345947266 × 131072)
    floor (55872.5)     		tx = 55872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119632720947266 × 217)
    floor (0.119632720947266 × 131072)
    floor (15680.5)     		ty = 15680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55872 / 15680 ti = "17/55872/15680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55872/15680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55872 ÷ 217
    55872 ÷ 131072     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15680 ÷ 217
    15680 ÷ 131072     		y = 0.11962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    0.7607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38994206745752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38994206745752))-π/2
    2×atan(10.912861714904)-π/2
    2×1.47941653538561-π/2
    2.95883307077122-1.57079632675     		φ = 1.38803674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38803674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55872 KachelY 15680 -0.46326220 1.38803674 -26.542969 79.528647
    Oben rechts KachelX + 1 55873 KachelY 15680 -0.46321426 1.38803674 -26.540222 79.528647
    Unten links KachelX 55872 KachelY + 1 15681 -0.46326220 1.38802803 -26.542969 79.528148
    Unten rechts KachelX + 1 55873 KachelY + 1 15681 -0.46321426 1.38802803 -26.540222 79.528148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38803674-1.38802803) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dl = 55.4914099994384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38803674-1.38802803) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dr = 55.4914099994384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46321426) × cos(1.38803674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181743890359503 × 6371000     		do = 55.5092622035579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46321426) × cos(1.38802803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181752455295395 × 6371000     		du = 55.5118781554407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38803674)-sin(1.38802803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181743890359503-0.181752455295395)×R²
    abs(-0.46321426--0.46326220)×8.56493589165841e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.56493589165841e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.56493589165841e-06×40589641000000     		ar = 3080.35980903621m²