Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55871 / 87105
↖ ↑ ↗
← S 50.849307°
W 26.545715°		 ← 192.79 m → S 50.849307°
W 26.542969°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.851041°
W 26.545715°		 ← 192.79 m →
37 180 m²		 S 50.851041°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426265716552734 y=0.664562225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426265716552734 × 217)
    floor (0.426265716552734 × 131072)
    floor (55871.5)     		tx = 55871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664562225341797 × 217)
    floor (0.664562225341797 × 131072)
    floor (87105.5)     		ty = 87105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55871 / 87105 ti = "17/55871/87105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55871/87105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55871 ÷ 217
    55871 ÷ 131072     		x = 0.426261901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87105 ÷ 217
    87105 ÷ 131072     		y = 0.664558410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426261901855469 × 2 - 1) × π
    -0.147476196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46331013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664558410644531 × 2 - 1) × π
    -0.329116821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.03395098790499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46331013} λ = -0.46331013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03395098790499))-π/2
    2×atan(0.355599213213609)-π/2
    2×0.341654248008278-π/2
    0.683308496016555-1.57079632675     		φ = -0.88748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46331013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.545715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.849307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55871 KachelY 87105 -0.46331013 -0.88748783 -26.545715 -50.849307
    Oben rechts KachelX + 1 55872 KachelY 87105 -0.46326220 -0.88748783 -26.542969 -50.849307
    Unten links KachelX 55871 KachelY + 1 87106 -0.46331013 -0.88751810 -26.545715 -50.851041
    Unten rechts KachelX + 1 55872 KachelY + 1 87106 -0.46326220 -0.88751810 -26.542969 -50.851041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88748783--0.88751810) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88748783--0.88751810) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(-0.88748783) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63136217474435 × 6371000     		do = 192.794035345044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(-0.88751810) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		du = 192.786867180792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88748783)-sin(-0.88751810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63136217474435-0.631338700430101)×R²
    abs(-0.46326220--0.46331013)×2.34743142493166e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34743142493166e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34743142493166e-05×40589641000000     		ar = 37179.6713032321m²