Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55871 / 87103
↖ ↑ ↗
← S 50.845839°
W 26.545715°		 ← 192.81 m → S 50.845839°
W 26.542969°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
S 50.847573°
W 26.545715°		 ← 192.80 m →
37 170 m²		 S 50.847573°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426265716552734 y=0.664546966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426265716552734 × 217)
    floor (0.426265716552734 × 131072)
    floor (55871.5)     		tx = 55871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664546966552734 × 217)
    floor (0.664546966552734 × 131072)
    floor (87103.5)     		ty = 87103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55871 / 87103 ti = "17/55871/87103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55871/87103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55871 ÷ 217
    55871 ÷ 131072     		x = 0.426261901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87103 ÷ 217
    87103 ÷ 131072     		y = 0.664543151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426261901855469 × 2 - 1) × π
    -0.147476196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46331013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664543151855469 × 2 - 1) × π
    -0.329086303710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03385511410575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46331013} λ = -0.46331013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03385511410575))-π/2
    2×atan(0.355633307495534)-π/2
    2×0.341684514678559-π/2
    0.683369029357118-1.57079632675     		φ = -0.88742730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46331013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.545715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88742730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.845839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55871 KachelY 87103 -0.46331013 -0.88742730 -26.545715 -50.845839
    Oben rechts KachelX + 1 55872 KachelY 87103 -0.46326220 -0.88742730 -26.542969 -50.845839
    Unten links KachelX 55871 KachelY + 1 87104 -0.46331013 -0.88745756 -26.545715 -50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 55872 KachelY + 1 87104 -0.46326220 -0.88745756 -26.542969 -50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88742730--0.88745756) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dl = 192.786459999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88742730--0.88745756) × R
    3.02599999999487e-05 × 6371000     		dr = 192.786459999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(-0.88742730) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631409113882828 × 6371000     		do = 192.808368775656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(-0.88745756) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 192.801203332644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88742730)-sin(-0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631409113882828-0.6313856484801)×R²
    abs(-0.46326220--0.46331013)×2.3465402728795e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3465402728795e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3465402728795e-05×40589641000000     		ar = 37170.1521771993m²