Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55871 / 15679
↖ ↑ ↗
← N 79.529147°
W 26.545715°		 ← 55.50 m → N 79.529147°
W 26.542969°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.528647°
W 26.545715°		 ← 55.50 m →
3 083 m²		 N 79.528647°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426265716552734 y=0.119625091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426265716552734 × 217)
    floor (0.426265716552734 × 131072)
    floor (55871.5)     		tx = 55871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119625091552734 × 217)
    floor (0.119625091552734 × 131072)
    floor (15679.5)     		ty = 15679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55871 / 15679 ti = "17/55871/15679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55871/15679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55871 ÷ 217
    55871 ÷ 131072     		x = 0.426261901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15679 ÷ 217
    15679 ÷ 131072     		y = 0.119621276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426261901855469 × 2 - 1) × π
    -0.147476196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46331013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119621276855469 × 2 - 1) × π
    0.760757446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38999000435714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46331013} λ = -0.46331013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38999000435714))-π/2
    2×atan(10.9133848561994)-π/2
    2×1.47942089140216-π/2
    2.95884178280432-1.57079632675     		φ = 1.38804546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46331013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.545715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38804546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.529147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55871 KachelY 15679 -0.46331013 1.38804546 -26.545715 79.529147
    Oben rechts KachelX + 1 55872 KachelY 15679 -0.46326220 1.38804546 -26.542969 79.529147
    Unten links KachelX 55871 KachelY + 1 15680 -0.46331013 1.38803674 -26.545715 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 55872 KachelY + 1 15680 -0.46326220 1.38803674 -26.542969 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38804546-1.38803674) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38804546-1.38803674) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(1.38804546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181735315576348 × 6371000     		do = 55.4950648870541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46331013--0.46326220) × cos(1.38803674) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 55.4976833002449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38804546)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181735315576348-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.46326220--0.46331013)×8.57478315449689e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.57478315449689e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.57478315449689e-06×40589641000000     		ar = 3083.10772253373m²