Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55870 / 87020
↖ ↑ ↗
← S 50.701676°
W 26.548462°		 ← 193.44 m → S 50.701676°
W 26.545715°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.703416°
W 26.548462°		 ← 193.44 m →
37 416 m²		 S 50.703416°
W 26.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426258087158203 y=0.663913726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426258087158203 × 217)
    floor (0.426258087158203 × 131072)
    floor (55870.5)     		tx = 55870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663913726806641 × 217)
    floor (0.663913726806641 × 131072)
    floor (87020.5)     		ty = 87020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55870 / 87020 ti = "17/55870/87020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55870/87020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55870 ÷ 217
    55870 ÷ 131072     		x = 0.426254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87020 ÷ 217
    87020 ÷ 131072     		y = 0.663909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.32781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02987635143729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46335807} λ = -0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02987635143729))-π/2
    2×atan(0.357051106695947)-π/2
    2×0.342942566618982-π/2
    0.685885133237963-1.57079632675     		φ = -0.88491119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88491119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.701676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55870 KachelY 87020 -0.46335807 -0.88491119 -26.548462 -50.701676
    Oben rechts KachelX + 1 55871 KachelY 87020 -0.46331013 -0.88491119 -26.545715 -50.701676
    Unten links KachelX 55870 KachelY + 1 87021 -0.46335807 -0.88494155 -26.548462 -50.703416
    Unten rechts KachelX + 1 55871 KachelY + 1 87021 -0.46331013 -0.88494155 -26.545715 -50.703416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88491119--0.88494155) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88491119--0.88494155) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(-0.88491119) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		do = 193.44390619927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(-0.88494155) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633334735737601 × 6371000     		du = 193.436730330458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88491119)-sin(-0.88494155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633358230380886-0.633334735737601)×R²
    abs(-0.46331013--0.46335807)×2.34946432849936e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34946432849936e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34946432849936e-05×40589641000000     		ar = 37415.9150092622m²