Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55870 / 14273
↖ ↑ ↗
← N 80.208185°
W 26.548462°		 ← 51.94 m → N 80.208185°
W 26.545715°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.207718°
W 26.548462°		 ← 51.95 m →
2 700 m²		 N 80.207718°
W 26.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426258087158203 y=0.108898162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426258087158203 × 217)
    floor (0.426258087158203 × 131072)
    floor (55870.5)     		tx = 55870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108898162841797 × 217)
    floor (0.108898162841797 × 131072)
    floor (14273.5)     		ty = 14273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55870 / 14273 ti = "17/55870/14273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55870/14273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55870 ÷ 217
    55870 ÷ 131072     		x = 0.426254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14273 ÷ 217
    14273 ÷ 131072     		y = 0.108894348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108894348144531 × 2 - 1) × π
    0.782211303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.45738928522294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46335807} λ = -0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45738928522294))-π/2
    2×atan(11.6742934698529)-π/2
    2×1.48534662202448-π/2
    2.97069324404896-1.57079632675     		φ = 1.39989692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39989692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.208185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55870 KachelY 14273 -0.46335807 1.39989692 -26.548462 80.208185
    Oben rechts KachelX + 1 55871 KachelY 14273 -0.46331013 1.39989692 -26.545715 80.208185
    Unten links KachelX 55870 KachelY + 1 14274 -0.46335807 1.39988876 -26.548462 80.207718
    Unten rechts KachelX + 1 55871 KachelY + 1 14274 -0.46331013 1.39988876 -26.545715 80.207718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39989692-1.39988876) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39989692-1.39988876) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(1.39989692) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170068722155236 × 6371000     		do = 51.9433653151436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(1.39988876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170076763276363 × 6371000     		du = 51.9458212805142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39989692)-sin(1.39988876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170068722155236-0.170076763276363)×R²
    abs(-0.46331013--0.46335807)×8.04112112681721e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04112112681721e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04112112681721e-06×40589641000000     		ar = 2700.46227192229m²