Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55870 / 12999
↖ ↑ ↗
← N 80.785718°
W 26.548462°		 ← 48.91 m → N 80.785718°
W 26.545715°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.785278°
W 26.548462°		 ← 48.91 m →
2 393 m²		 N 80.785278°
W 26.545715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426258087158203 y=0.0991783142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426258087158203 × 217)
    floor (0.426258087158203 × 131072)
    floor (55870.5)     		tx = 55870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991783142089844 × 217)
    floor (0.0991783142089844 × 131072)
    floor (12999.5)     		ty = 12999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55870 / 12999 ti = "17/55870/12999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55870/12999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55870 ÷ 217
    55870 ÷ 131072     		x = 0.426254272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12999 ÷ 217
    12999 ÷ 131072     		y = 0.0991744995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426254272460938 × 2 - 1) × π
    -0.147491455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46335807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0991744995117188 × 2 - 1) × π
    0.801651000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.51846089533889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46335807} λ = -0.46335807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51846089533889))-π/2
    2×atan(12.4094824656703)-π/2
    2×1.49038654108255-π/2
    2.98077308216511-1.57079632675     		φ = 1.40997676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46335807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.548462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40997676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.785718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55870 KachelY 12999 -0.46335807 1.40997676 -26.548462 80.785718
    Oben rechts KachelX + 1 55871 KachelY 12999 -0.46331013 1.40997676 -26.545715 80.785718
    Unten links KachelX 55870 KachelY + 1 13000 -0.46335807 1.40996908 -26.548462 80.785278
    Unten rechts KachelX + 1 55871 KachelY + 1 13000 -0.46331013 1.40996908 -26.545715 80.785278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40997676-1.40996908) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40997676-1.40996908) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(1.40997676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160127251717941 × 6371000     		do = 48.9069843501429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46335807--0.46331013) × cos(1.40996908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160134832613416 × 6371000     		du = 48.9092997507533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40997676)-sin(1.40996908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160127251717941-0.160134832613416)×R²
    abs(-0.46331013--0.46335807)×7.5808954753398e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.5808954753398e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.5808954753398e-06×40589641000000     		ar = 2393.04017664995m²