Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55868 / 14316
↖ ↑ ↗
← N 80.188079°
W 26.553955°		 ← 52.05 m → N 80.188079°
W 26.551209°		 →
↑
52.05 m
↓
↑
52.05 m
↓
N 80.187611°
W 26.553955°		 ← 52.05 m →
2 709 m²		 N 80.187611°
W 26.551209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426242828369141 y=0.109226226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426242828369141 × 217)
    floor (0.426242828369141 × 131072)
    floor (55868.5)     		tx = 55868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109226226806641 × 217)
    floor (0.109226226806641 × 131072)
    floor (14316.5)     		ty = 14316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55868 / 14316 ti = "17/55868/14316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55868/14316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55868 ÷ 217
    55868 ÷ 131072     		x = 0.426239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14316 ÷ 217
    14316 ÷ 131072     		y = 0.109222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109222412109375 × 2 - 1) × π
    0.78155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45532799853928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46345395} λ = -0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45532799853928))-π/2
    2×atan(11.6502541886192)-π/2
    2×1.48517116368887-π/2
    2.97034232737775-1.57079632675     		φ = 1.39954600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39954600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.188079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55868 KachelY 14316 -0.46345395 1.39954600 -26.553955 80.188079
    Oben rechts KachelX + 1 55869 KachelY 14316 -0.46340601 1.39954600 -26.551209 80.188079
    Unten links KachelX 55868 KachelY + 1 14317 -0.46345395 1.39953783 -26.553955 80.187611
    Unten rechts KachelX + 1 55869 KachelY + 1 14317 -0.46340601 1.39953783 -26.551209 80.187611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39954600-1.39953783) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dl = 52.0510699991272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39954600-1.39953783) × R
    8.16999999986301e-06 × 6371000     		dr = 52.0510699991272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46345395--0.46340601) × cos(1.39954600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170414519545813 × 6371000     		do = 52.0489807390505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46345395--0.46340601) × cos(1.39953783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170422570033151 × 6371000     		du = 52.0514395651031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39954600)-sin(1.39953783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170414519545813-0.170422570033151)×R²
    abs(-0.46340601--0.46345395)×8.05048733784619e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.05048733784619e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.05048733784619e-06×40589641000000     		ar = 2709.26913231099m²