Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55868 / 12996
↖ ↑ ↗
← N 80.787037°
W 26.553955°		 ← 48.90 m → N 80.787037°
W 26.551209°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.786597°
W 26.553955°		 ← 48.90 m →
2 390 m²		 N 80.786597°
W 26.551209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426242828369141 y=0.0991554260253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426242828369141 × 217)
    floor (0.426242828369141 × 131072)
    floor (55868.5)     		tx = 55868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991554260253906 × 217)
    floor (0.0991554260253906 × 131072)
    floor (12996.5)     		ty = 12996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55868 / 12996 ti = "17/55868/12996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55868/12996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55868 ÷ 217
    55868 ÷ 131072     		x = 0.426239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12996 ÷ 217
    12996 ÷ 131072     		y = 0.099151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099151611328125 × 2 - 1) × π
    0.80169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51860470603775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46345395} λ = -0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51860470603775))-π/2
    2×atan(12.4112672103458)-π/2
    2×1.49039805427167-π/2
    2.98079610854334-1.57079632675     		φ = 1.40999978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40999978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.787037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55868 KachelY 12996 -0.46345395 1.40999978 -26.553955 80.787037
    Oben rechts KachelX + 1 55869 KachelY 12996 -0.46340601 1.40999978 -26.551209 80.787037
    Unten links KachelX 55868 KachelY + 1 12997 -0.46345395 1.40999211 -26.553955 80.786597
    Unten rechts KachelX + 1 55869 KachelY + 1 12997 -0.46340601 1.40999211 -26.551209 80.786597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40999978-1.40999211) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40999978-1.40999211) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46345395--0.46340601) × cos(1.40999978) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16010452871685 × 6371000     		do = 48.9000441607196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46345395--0.46340601) × cos(1.40999211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160112099769645 × 6371000     		du = 48.9023565551221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40999978)-sin(1.40999211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16010452871685-0.160112099769645)×R²
    abs(-0.46340601--0.46345395)×7.5710527951689e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.5710527951689e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.5710527951689e-06×40589641000000     		ar = 2389.5850292699m²