Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55867 / 15677
↖ ↑ ↗
← N 79.530145°
W 26.556702°		 ← 55.49 m → N 79.530145°
W 26.553955°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.529646°
W 26.556702°		 ← 55.49 m →
3 079 m²		 N 79.529646°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426235198974609 y=0.119609832763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426235198974609 × 217)
    floor (0.426235198974609 × 131072)
    floor (55867.5)     		tx = 55867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119609832763672 × 217)
    floor (0.119609832763672 × 131072)
    floor (15677.5)     		ty = 15677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55867 / 15677 ti = "17/55867/15677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55867/15677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55867 ÷ 217
    55867 ÷ 131072     		x = 0.426231384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15677 ÷ 217
    15677 ÷ 131072     		y = 0.119606018066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426231384277344 × 2 - 1) × π
    -0.147537231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.46350188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119606018066406 × 2 - 1) × π
    0.760787963867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.39008587815638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46350188} λ = -0.46350188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39008587815638))-π/2
    2×atan(10.9144312140264)-π/2
    2×1.47942960281928-π/2
    2.95885920563855-1.57079632675     		φ = 1.38806288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46350188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.556702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38806288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.530145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55867 KachelY 15677 -0.46350188 1.38806288 -26.556702 79.530145
    Oben rechts KachelX + 1 55868 KachelY 15677 -0.46345395 1.38806288 -26.553955 79.530145
    Unten links KachelX 55867 KachelY + 1 15678 -0.46350188 1.38805417 -26.556702 79.529646
    Unten rechts KachelX + 1 55868 KachelY + 1 15678 -0.46345395 1.38805417 -26.553955 79.529646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38806288-1.38805417) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dl = 55.491410000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38806288-1.38805417) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dr = 55.491410000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46350188--0.46345395) × cos(1.38806288) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181718185635597 × 6371000     		do = 55.4898340535724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46350188--0.46345395) × cos(1.38805417) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.181726750612866 × 6371000     		du = 55.4924494724182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38806288)-sin(1.38805417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181718185635597-0.181726750612866)×R²
    abs(-0.46345395--0.46350188)×8.5649772692542e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.5649772692542e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.5649772692542e-06×40589641000000     		ar = 3079.28169892088m²