Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55866 / 87002
↖ ↑ ↗
← S 50.670354°
W 26.559448°		 ← 193.57 m → S 50.670354°
W 26.556702°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
S 50.672095°
W 26.559448°		 ← 193.57 m →
37 466 m²		 S 50.672095°
W 26.556702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426227569580078 y=0.663776397705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426227569580078 × 217)
    floor (0.426227569580078 × 131072)
    floor (55866.5)     		tx = 55866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663776397705078 × 217)
    floor (0.663776397705078 × 131072)
    floor (87002.5)     		ty = 87002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55866 / 87002 ti = "17/55866/87002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55866/87002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55866 ÷ 217
    55866 ÷ 131072     		x = 0.426223754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87002 ÷ 217
    87002 ÷ 131072     		y = 0.663772583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.147552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46354982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663772583007812 × 2 - 1) × π
    -0.327545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02901348724413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46354982} λ = -0.46354982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02901348724413))-π/2
    2×atan(0.357359326267736)-π/2
    2×0.343215908923361-π/2
    0.686431817846722-1.57079632675     		φ = -0.88436451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46354982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.559448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88436451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.670354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55866 KachelY 87002 -0.46354982 -0.88436451 -26.559448 -50.670354
    Oben rechts KachelX + 1 55867 KachelY 87002 -0.46350188 -0.88436451 -26.556702 -50.670354
    Unten links KachelX 55866 KachelY + 1 87003 -0.46354982 -0.88439489 -26.559448 -50.672095
    Unten rechts KachelX + 1 55867 KachelY + 1 87003 -0.46350188 -0.88439489 -26.556702 -50.672095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88436451--0.88439489) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88436451--0.88439489) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(-0.88436451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633781188814284 × 6371000     		do = 193.57308859178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(-0.88439489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633757689215658 × 6371000     		du = 193.56591120948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88436451)-sin(-0.88439489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633781188814284-0.633757689215658)×R²
    abs(-0.46350188--0.46354982)×2.349959862602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.349959862602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.349959862602e-05×40589641000000     		ar = 37465.5664068296m²