Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55866 / 15678
↖ ↑ ↗
← N 79.529646°
W 26.559448°		 ← 55.50 m → N 79.529646°
W 26.556702°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.529147°
W 26.559448°		 ← 55.51 m →
3 080 m²		 N 79.529147°
W 26.556702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426227569580078 y=0.119617462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426227569580078 × 217)
    floor (0.426227569580078 × 131072)
    floor (55866.5)     		tx = 55866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119617462158203 × 217)
    floor (0.119617462158203 × 131072)
    floor (15678.5)     		ty = 15678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55866 / 15678 ti = "17/55866/15678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55866/15678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55866 ÷ 217
    55866 ÷ 131072     		x = 0.426223754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15678 ÷ 217
    15678 ÷ 131072     		y = 0.119613647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.147552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46354982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119613647460938 × 2 - 1) × π
    0.760772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39003794125676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46354982} λ = -0.46354982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39003794125676))-π/2
    2×atan(10.9139080225731)-π/2
    2×1.47942524721338-π/2
    2.95885049442676-1.57079632675     		φ = 1.38805417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46354982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.559448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38805417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.529646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55866 KachelY 15678 -0.46354982 1.38805417 -26.559448 79.529646
    Oben rechts KachelX + 1 55867 KachelY 15678 -0.46350188 1.38805417 -26.556702 79.529646
    Unten links KachelX 55866 KachelY + 1 15679 -0.46354982 1.38804546 -26.559448 79.529147
    Unten rechts KachelX + 1 55867 KachelY + 1 15679 -0.46350188 1.38804546 -26.556702 79.529147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38805417-1.38804546) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dl = 55.4914099994384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38805417-1.38804546) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dr = 55.4914099994384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(1.38805417) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181726750612866 × 6371000     		do = 55.5040272837579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(1.38804546) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181735315576348 × 6371000     		du = 55.5066432440676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38805417)-sin(1.38804546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181726750612866-0.181735315576348)×R²
    abs(-0.46350188--0.46354982)×8.56496348250468e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.56496348250468e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.56496348250468e-06×40589641000000     		ar = 3080.06931627833m²