Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55866 / 12985
↖ ↑ ↗
← N 80.791872°
W 26.559448°		 ← 48.87 m → N 80.791872°
W 26.556702°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.791433°
W 26.559448°		 ← 48.88 m →
2 388 m²		 N 80.791433°
W 26.556702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426227569580078 y=0.0990715026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426227569580078 × 217)
    floor (0.426227569580078 × 131072)
    floor (55866.5)     		tx = 55866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990715026855469 × 217)
    floor (0.0990715026855469 × 131072)
    floor (12985.5)     		ty = 12985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55866 / 12985 ti = "17/55866/12985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55866/12985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55866 ÷ 217
    55866 ÷ 131072     		x = 0.426223754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12985 ÷ 217
    12985 ÷ 131072     		y = 0.0990676879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    -0.147552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46354982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990676879882812 × 2 - 1) × π
    0.801864624023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51913201193357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46354982} λ = -0.46354982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51913201193357))-π/2
    2×atan(12.4178134705096)-π/2
    2×1.49044025531828-π/2
    2.98088051063657-1.57079632675     		φ = 1.41008418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46354982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.559448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41008418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.791872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55866 KachelY 12985 -0.46354982 1.41008418 -26.559448 80.791872
    Oben rechts KachelX + 1 55867 KachelY 12985 -0.46350188 1.41008418 -26.556702 80.791872
    Unten links KachelX 55866 KachelY + 1 12986 -0.46354982 1.41007651 -26.559448 80.791433
    Unten rechts KachelX + 1 55867 KachelY + 1 12986 -0.46350188 1.41007651 -26.556702 80.791433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41008418-1.41007651) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41008418-1.41007651) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(1.41008418) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160021216901155 × 6371000     		do = 48.8745985877602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46354982--0.46350188) × cos(1.41007651) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		du = 48.8769110138106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41008418)-sin(1.41007651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160021216901155-0.160028788057569)×R²
    abs(-0.46350188--0.46354982)×7.57115641400463e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.57115641400463e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.57115641400463e-06×40589641000000     		ar = 2388.34161748551m²