Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55865 / 43703
↖ ↑ ↗
← N 51.304862°
W 26.562195°		 ← 190.94 m → N 51.304862°
W 26.559448°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.303145°
W 26.562195°		 ← 190.95 m →
36 459 m²		 N 51.303145°
W 26.559448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426219940185547 y=0.333431243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426219940185547 × 217)
    floor (0.426219940185547 × 131072)
    floor (55865.5)     		tx = 55865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333431243896484 × 217)
    floor (0.333431243896484 × 131072)
    floor (43703.5)     		ty = 43703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55865 / 43703 ti = "17/55865/43703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55865/43703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55865 ÷ 217
    55865 ÷ 131072     		x = 0.426216125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43703 ÷ 217
    43703 ÷ 131072     		y = 0.333427429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426216125488281 × 2 - 1) × π
    -0.147567749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46359776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333427429199219 × 2 - 1) × π
    0.333145141601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04660632940469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46359776} λ = -0.46359776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04660632940469))-π/2
    2×atan(2.84796962867686)-π/2
    2×1.2331175488791-π/2
    2.46623509775821-1.57079632675     		φ = 0.89543877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46359776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.562195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89543877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.304862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55865 KachelY 43703 -0.46359776 0.89543877 -26.562195 51.304862
    Oben rechts KachelX + 1 55866 KachelY 43703 -0.46354982 0.89543877 -26.559448 51.304862
    Unten links KachelX 55865 KachelY + 1 43704 -0.46359776 0.89540880 -26.562195 51.303145
    Unten rechts KachelX + 1 55866 KachelY + 1 43704 -0.46354982 0.89540880 -26.559448 51.303145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89543877-0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89543877-0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46359776--0.46354982) × cos(0.89543877) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625176423851372 × 6371000     		do = 190.944971885455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46359776--0.46354982) × cos(0.89540880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625199814660046 × 6371000     		du = 190.952116040503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89543877)-sin(0.89540880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625176423851372-0.625199814660046)×R²
    abs(-0.46354982--0.46359776)×2.33908086740842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33908086740842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33908086740842e-05×40589641000000     		ar = 36459.4992152162m²