Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55864 / 14342
↖ ↑ ↗
← N 80.175902°
W 26.564941°		 ← 52.10 m → N 80.175902°
W 26.562195°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.175433°
W 26.564941°		 ← 52.10 m →
2 715 m²		 N 80.175433°
W 26.562195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426212310791016 y=0.109424591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426212310791016 × 217)
    floor (0.426212310791016 × 131072)
    floor (55864.5)     		tx = 55864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109424591064453 × 217)
    floor (0.109424591064453 × 131072)
    floor (14342.5)     		ty = 14342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55864 / 14342 ti = "17/55864/14342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55864/14342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55864 ÷ 217
    55864 ÷ 131072     		x = 0.42620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14342 ÷ 217
    14342 ÷ 131072     		y = 0.109420776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109420776367188 × 2 - 1) × π
    0.781158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45408163914915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46364569} λ = -0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45408163914915))-π/2
    2×atan(11.6357428299764)-π/2
    2×1.48506489958209-π/2
    2.97012979916418-1.57079632675     		φ = 1.39933347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39933347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.175902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55864 KachelY 14342 -0.46364569 1.39933347 -26.564941 80.175902
    Oben rechts KachelX + 1 55865 KachelY 14342 -0.46359776 1.39933347 -26.562195 80.175902
    Unten links KachelX 55864 KachelY + 1 14343 -0.46364569 1.39932529 -26.564941 80.175433
    Unten rechts KachelX + 1 55865 KachelY + 1 14343 -0.46359776 1.39932529 -26.562195 80.175433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39933347-1.39932529) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39933347-1.39932529) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46364569--0.46359776) × cos(1.39933347) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170623936905145 × 6371000     		do = 52.1020717399187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46364569--0.46359776) × cos(1.39932529) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.17063199694974 × 6371000     		du = 52.104532971498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39933347)-sin(1.39932529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170623936905145-0.17063199694974)×R²
    abs(-0.46359776--0.46364569)×8.06004459480425e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.06004459480425e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.06004459480425e-06×40589641000000     		ar = 2715.35213959455m²