Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55863 / 14299
↖ ↑ ↗
← N 80.196033°
W 26.567688°		 ← 52.01 m → N 80.196033°
W 26.564941°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.195565°
W 26.567688°		 ← 52.01 m →
2 704 m²		 N 80.195565°
W 26.564941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426204681396484 y=0.109096527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426204681396484 × 217)
    floor (0.426204681396484 × 131072)
    floor (55863.5)     		tx = 55863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109096527099609 × 217)
    floor (0.109096527099609 × 131072)
    floor (14299.5)     		ty = 14299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55863 / 14299 ti = "17/55863/14299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55863/14299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55863 ÷ 217
    55863 ÷ 131072     		x = 0.426200866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14299 ÷ 217
    14299 ÷ 131072     		y = 0.109092712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426200866699219 × 2 - 1) × π
    -0.147598266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.46369363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109092712402344 × 2 - 1) × π
    0.781814575195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.45614292583282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46369363} λ = -0.46369363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45614292583282))-π/2
    2×atan(11.6597521682899)-π/2
    2×1.48524057353799-π/2
    2.97048114707598-1.57079632675     		φ = 1.39968482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46369363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.567688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39968482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.196033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55863 KachelY 14299 -0.46369363 1.39968482 -26.567688 80.196033
    Oben rechts KachelX + 1 55864 KachelY 14299 -0.46364569 1.39968482 -26.564941 80.196033
    Unten links KachelX 55863 KachelY + 1 14300 -0.46369363 1.39967666 -26.567688 80.195565
    Unten rechts KachelX + 1 55864 KachelY + 1 14300 -0.46364569 1.39967666 -26.564941 80.195565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39968482-1.39967666) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dl = 51.9873600009291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39968482-1.39967666) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dr = 51.9873600009291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46369363--0.46364569) × cos(1.39968482) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170277728498862 × 6371000     		do = 52.00720123231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46369363--0.46364569) × cos(1.39967666) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170285769325457 × 6371000     		du = 52.0096571077231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39968482)-sin(1.39967666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170277728498862-0.170285769325457)×R²
    abs(-0.46364569--0.46369363)×8.04082659514038e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04082659514038e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04082659514038e-06×40589641000000     		ar = 2703.78093053717m²