Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55862 / 15566
↖ ↑ ↗
← N 79.585401°
W 26.570435°		 ← 55.21 m → N 79.585401°
W 26.567688°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.584904°
W 26.570435°		 ← 55.21 m →
3 050 m²		 N 79.584904°
W 26.567688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426197052001953 y=0.118762969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426197052001953 × 217)
    floor (0.426197052001953 × 131072)
    floor (55862.5)     		tx = 55862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118762969970703 × 217)
    floor (0.118762969970703 × 131072)
    floor (15566.5)     		ty = 15566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55862 / 15566 ti = "17/55862/15566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55862/15566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55862 ÷ 217
    55862 ÷ 131072     		x = 0.426193237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15566 ÷ 217
    15566 ÷ 131072     		y = 0.118759155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426193237304688 × 2 - 1) × π
    -0.147613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46374157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118759155273438 × 2 - 1) × π
    0.762481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39540687401421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46374157} λ = -0.46374157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39540687401421))-π/2
    2×atan(10.9726616418497)-π/2
    2×1.4799118009757-π/2
    2.95982360195139-1.57079632675     		φ = 1.38902728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46374157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.570435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38902728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.585401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55862 KachelY 15566 -0.46374157 1.38902728 -26.570435 79.585401
    Oben rechts KachelX + 1 55863 KachelY 15566 -0.46369363 1.38902728 -26.567688 79.585401
    Unten links KachelX 55862 KachelY + 1 15567 -0.46374157 1.38901861 -26.570435 79.584904
    Unten rechts KachelX + 1 55863 KachelY + 1 15567 -0.46369363 1.38901861 -26.567688 79.584904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38902728-1.38901861) × R
    8.67000000015494e-06 × 6371000     		dl = 55.2365700009871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38902728-1.38901861) × R
    8.67000000015494e-06 × 6371000     		dr = 55.2365700009871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46374157--0.46369363) × cos(1.38902728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180769757910595 × 6371000     		do = 55.2117370794282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46374157--0.46369363) × cos(1.38901861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180778285069381 × 6371000     		du = 55.2143414932105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38902728)-sin(1.38901861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180769757910595-0.180778285069381)×R²
    abs(-0.46369363--0.46374157)×8.52715878613131e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.52715878613131e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.52715878613131e-06×40589641000000     		ar = 3049.7789093805m²