Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55862 / 14343
↖ ↑ ↗
← N 80.175433°
W 26.570435°		 ← 52.12 m → N 80.175433°
W 26.567688°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.174965°
W 26.570435°		 ← 52.12 m →
2 716 m²		 N 80.174965°
W 26.567688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426197052001953 y=0.109432220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426197052001953 × 217)
    floor (0.426197052001953 × 131072)
    floor (55862.5)     		tx = 55862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109432220458984 × 217)
    floor (0.109432220458984 × 131072)
    floor (14343.5)     		ty = 14343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55862 / 14343 ti = "17/55862/14343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55862/14343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55862 ÷ 217
    55862 ÷ 131072     		x = 0.426193237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14343 ÷ 217
    14343 ÷ 131072     		y = 0.109428405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426193237304688 × 2 - 1) × π
    -0.147613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46374157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109428405761719 × 2 - 1) × π
    0.781143188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.45403370224953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46374157} λ = -0.46374157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45403370224953))-π/2
    2×atan(11.6351850619093)-π/2
    2×1.48506080989429-π/2
    2.97012161978858-1.57079632675     		φ = 1.39932529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46374157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.570435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39932529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.175433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55862 KachelY 14343 -0.46374157 1.39932529 -26.570435 80.175433
    Oben rechts KachelX + 1 55863 KachelY 14343 -0.46369363 1.39932529 -26.567688 80.175433
    Unten links KachelX 55862 KachelY + 1 14344 -0.46374157 1.39931711 -26.570435 80.174965
    Unten rechts KachelX + 1 55863 KachelY + 1 14344 -0.46369363 1.39931711 -26.567688 80.174965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39932529-1.39931711) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39932529-1.39931711) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46374157--0.46369363) × cos(1.39932529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17063199694974 × 6371000     		do = 52.115403936018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46374157--0.46369363) × cos(1.39931711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170640056982918 × 6371000     		du = 52.1178656776156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39932529)-sin(1.39931711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17063199694974-0.170640056982918)×R²
    abs(-0.46369363--0.46374157)×8.06003317740944e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.06003317740944e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.06003317740944e-06×40589641000000     		ar = 2716.04695719589m²