Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55861 / 43609
↖ ↑ ↗
← N 51.465986°
W 26.573181°		 ← 190.23 m → N 51.465986°
W 26.570435°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 51.464275°
W 26.573181°		 ← 190.24 m →
36 203 m²		 N 51.464275°
W 26.570435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426189422607422 y=0.332714080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426189422607422 × 217)
    floor (0.426189422607422 × 131072)
    floor (55861.5)     		tx = 55861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332714080810547 × 217)
    floor (0.332714080810547 × 131072)
    floor (43609.5)     		ty = 43609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55861 / 43609 ti = "17/55861/43609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55861/43609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55861 ÷ 217
    55861 ÷ 131072     		x = 0.426185607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43609 ÷ 217
    43609 ÷ 131072     		y = 0.332710266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426185607910156 × 2 - 1) × π
    -0.147628784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46378950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332710266113281 × 2 - 1) × π
    0.334579467773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05111239796897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46378950} λ = -0.46378950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05111239796897))-π/2
    2×atan(2.86083173208924)-π/2
    2×1.23452361697646-π/2
    2.46904723395292-1.57079632675     		φ = 0.89825091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46378950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.573181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89825091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.465986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55861 KachelY 43609 -0.46378950 0.89825091 -26.573181 51.465986
    Oben rechts KachelX + 1 55862 KachelY 43609 -0.46374157 0.89825091 -26.570435 51.465986
    Unten links KachelX 55861 KachelY + 1 43610 -0.46378950 0.89822104 -26.573181 51.464275
    Unten rechts KachelX + 1 55862 KachelY + 1 43610 -0.46374157 0.89822104 -26.570435 51.464275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89825091-0.89822104) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dl = 190.30176999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89825091-0.89822104) × R
    2.98699999999874e-05 × 6371000     		dr = 190.30176999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46378950--0.46374157) × cos(0.89825091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62297912598606 × 6371000     		do = 190.234170558846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46378950--0.46374157) × cos(0.89822104) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.623002491170946 × 6371000     		du = 190.241305399134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89825091)-sin(0.89822104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62297912598606-0.623002491170946)×R²
    abs(-0.46374157--0.46378950)×2.33651848857708e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33651848857708e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33651848857708e-05×40589641000000     		ar = 36202.5782609869m²