Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55861 / 15568
↖ ↑ ↗
← N 79.584407°
W 26.573181°		 ← 55.21 m → N 79.584407°
W 26.570435°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.583911°
W 26.573181°		 ← 55.21 m →
3 046 m²		 N 79.583911°
W 26.570435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426189422607422 y=0.118778228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426189422607422 × 217)
    floor (0.426189422607422 × 131072)
    floor (55861.5)     		tx = 55861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118778228759766 × 217)
    floor (0.118778228759766 × 131072)
    floor (15568.5)     		ty = 15568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55861 / 15568 ti = "17/55861/15568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55861/15568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55861 ÷ 217
    55861 ÷ 131072     		x = 0.426185607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15568 ÷ 217
    15568 ÷ 131072     		y = 0.1187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426185607910156 × 2 - 1) × π
    -0.147628784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46378950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1187744140625 × 2 - 1) × π
    0.762451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39531100021497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46378950} λ = -0.46378950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39531100021497))-π/2
    2×atan(10.9716097015178)-π/2
    2×1.47990313502516-π/2
    2.95980627005032-1.57079632675     		φ = 1.38900994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46378950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.573181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38900994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.584407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55861 KachelY 15568 -0.46378950 1.38900994 -26.573181 79.584407
    Oben rechts KachelX + 1 55862 KachelY 15568 -0.46374157 1.38900994 -26.570435 79.584407
    Unten links KachelX 55861 KachelY + 1 15569 -0.46378950 1.38900128 -26.573181 79.583911
    Unten rechts KachelX + 1 55862 KachelY + 1 15569 -0.46374157 1.38900128 -26.570435 79.583911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38900994-1.38900128) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38900994-1.38900128) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46378950--0.46374157) × cos(1.38900994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180786812214578 × 6371000     		do = 55.2054279751062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46378950--0.46374157) × cos(1.38900128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180795329510978 × 6371000     		du = 55.2080288340251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38900994)-sin(1.38900128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180786812214578-0.180795329510978)×R²
    abs(-0.46374157--0.46378950)×8.51729640011234e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.51729640011234e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.51729640011234e-06×40589641000000     		ar = 3045.91309752181m²