Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55858 / 43602
↖ ↑ ↗
← N 51.477962°
W 26.581421°		 ← 190.18 m → N 51.477962°
W 26.578674°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.476251°
W 26.581421°		 ← 190.19 m →
36 181 m²		 N 51.476251°
W 26.578674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426166534423828 y=0.332660675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426166534423828 × 217)
    floor (0.426166534423828 × 131072)
    floor (55858.5)     		tx = 55858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332660675048828 × 217)
    floor (0.332660675048828 × 131072)
    floor (43602.5)     		ty = 43602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55858 / 43602 ti = "17/55858/43602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55858/43602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55858 ÷ 217
    55858 ÷ 131072     		x = 0.426162719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43602 ÷ 217
    43602 ÷ 131072     		y = 0.332656860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426162719726562 × 2 - 1) × π
    -0.147674560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46393331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332656860351562 × 2 - 1) × π
    0.334686279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05144795626631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46393331} λ = -0.46393331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05144795626631))-π/2
    2×atan(2.86179186899618)-π/2
    2×1.23462812616674-π/2
    2.46925625233348-1.57079632675     		φ = 0.89845993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46393331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.581421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89845993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.477962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55858 KachelY 43602 -0.46393331 0.89845993 -26.581421 51.477962
    Oben rechts KachelX + 1 55859 KachelY 43602 -0.46388538 0.89845993 -26.578674 51.477962
    Unten links KachelX 55858 KachelY + 1 43603 -0.46393331 0.89843007 -26.581421 51.476251
    Unten rechts KachelX + 1 55859 KachelY + 1 43603 -0.46388538 0.89843007 -26.578674 51.476251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89845993-0.89843007) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dl = 190.238060000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89845993-0.89843007) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dr = 190.238060000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46393331--0.46388538) × cos(0.89845993) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622815608895524 × 6371000     		do = 190.184238647919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46393331--0.46388538) × cos(0.89843007) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.622838970145997 × 6371000     		du = 190.191372286787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89845993)-sin(0.89843007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622815608895524-0.622838970145997)×R²
    abs(-0.46388538--0.46393331)×2.33612504728642e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33612504728642e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33612504728642e-05×40589641000000     		ar = 36180.9591504899m²