Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55855 / 43698
↖ ↑ ↗
← N 51.313447°
W 26.589661°		 ← 190.91 m → N 51.313447°
W 26.586914°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
N 51.311730°
W 26.589661°		 ← 190.92 m →
36 441 m²		 N 51.311730°
W 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426143646240234 y=0.333393096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426143646240234 × 217)
    floor (0.426143646240234 × 131072)
    floor (55855.5)     		tx = 55855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333393096923828 × 217)
    floor (0.333393096923828 × 131072)
    floor (43698.5)     		ty = 43698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55855 / 43698 ti = "17/55855/43698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55855/43698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55855 ÷ 217
    55855 ÷ 131072     		x = 0.426139831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43698 ÷ 217
    43698 ÷ 131072     		y = 0.333389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426139831542969 × 2 - 1) × π
    -0.147720336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46407713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333389282226562 × 2 - 1) × π
    0.333221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04684601390279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46407713} λ = -0.46407713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04684601390279))-π/2
    2×atan(2.84865232466047)-π/2
    2×1.23319246441999-π/2
    2.46638492883997-1.57079632675     		φ = 0.89558860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46407713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.589661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89558860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.313447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55855 KachelY 43698 -0.46407713 0.89558860 -26.589661 51.313447
    Oben rechts KachelX + 1 55856 KachelY 43698 -0.46402919 0.89558860 -26.586914 51.313447
    Unten links KachelX 55855 KachelY + 1 43699 -0.46407713 0.89555864 -26.589661 51.311730
    Unten rechts KachelX + 1 55856 KachelY + 1 43699 -0.46402919 0.89555864 -26.586914 51.311730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89558860-0.89555864) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89558860-0.89555864) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46407713--0.46402919) × cos(0.89558860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625059476996955 × 6371000     		do = 190.909253305904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46407713--0.46402919) × cos(0.89555864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62508286280713 × 6371000     		du = 190.916395934282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89558860)-sin(0.89555864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625059476996955-0.62508286280713)×R²
    abs(-0.46402919--0.46407713)×2.33858101754691e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33858101754691e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33858101754691e-05×40589641000000     		ar = 36440.5159479993m²