Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55851 / 43703
↖ ↑ ↗
← N 51.304862°
W 26.600647°		 ← 190.91 m → N 51.304862°
W 26.597901°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
N 51.303145°
W 26.600647°		 ← 190.91 m →
36 452 m²		 N 51.303145°
W 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426113128662109 y=0.333431243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426113128662109 × 217)
    floor (0.426113128662109 × 131072)
    floor (55851.5)     		tx = 55851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333431243896484 × 217)
    floor (0.333431243896484 × 131072)
    floor (43703.5)     		ty = 43703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55851 / 43703 ti = "17/55851/43703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55851/43703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55851 ÷ 217
    55851 ÷ 131072     		x = 0.426109313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43703 ÷ 217
    43703 ÷ 131072     		y = 0.333427429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426109313964844 × 2 - 1) × π
    -0.147781372070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.46426887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333427429199219 × 2 - 1) × π
    0.333145141601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04660632940469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46426887} λ = -0.46426887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04660632940469))-π/2
    2×atan(2.84796962867686)-π/2
    2×1.2331175488791-π/2
    2.46623509775821-1.57079632675     		φ = 0.89543877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46426887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.600647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89543877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.304862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55851 KachelY 43703 -0.46426887 0.89543877 -26.600647 51.304862
    Oben rechts KachelX + 1 55852 KachelY 43703 -0.46422094 0.89543877 -26.597901 51.304862
    Unten links KachelX 55851 KachelY + 1 43704 -0.46426887 0.89540880 -26.600647 51.303145
    Unten rechts KachelX + 1 55852 KachelY + 1 43704 -0.46422094 0.89540880 -26.597901 51.303145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89543877-0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89543877-0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46426887--0.46422094) × cos(0.89543877) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625176423851372 × 6371000     		do = 190.905141895291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46426887--0.46422094) × cos(0.89540880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625199814660046 × 6371000     		du = 190.912284560111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89543877)-sin(0.89540880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625176423851372-0.625199814660046)×R²
    abs(-0.46422094--0.46426887)×2.33908086740842e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33908086740842e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33908086740842e-05×40589641000000     		ar = 36451.8939796304m²