Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55850 / 29001
↖ ↑ ↗
← N 70.310412°
W 26.603394°		 ← 102.91 m → N 70.310412°
W 26.600647°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
N 70.309486°
W 26.603394°		 ← 102.91 m →
10 588 m²		 N 70.309486°
W 26.600647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426105499267578 y=0.221263885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426105499267578 × 217)
    floor (0.426105499267578 × 131072)
    floor (55850.5)     		tx = 55850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221263885498047 × 217)
    floor (0.221263885498047 × 131072)
    floor (29001.5)     		ty = 29001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55850 / 29001 ti = "17/55850/29001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55850/29001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55850 ÷ 217
    55850 ÷ 131072     		x = 0.426101684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29001 ÷ 217
    29001 ÷ 131072     		y = 0.221260070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426101684570312 × 2 - 1) × π
    -0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221260070800781 × 2 - 1) × π
    0.557479858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.75137462761875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46431681} λ = -0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75137462761875))-π/2
    2×atan(5.76251855122297)-π/2
    2×1.3989722543477-π/2
    2.79794450869539-1.57079632675     		φ = 1.22714818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22714818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.310412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55850 KachelY 29001 -0.46431681 1.22714818 -26.603394 70.310412
    Oben rechts KachelX + 1 55851 KachelY 29001 -0.46426887 1.22714818 -26.600647 70.310412
    Unten links KachelX 55850 KachelY + 1 29002 -0.46431681 1.22713203 -26.603394 70.309486
    Unten rechts KachelX + 1 55851 KachelY + 1 29002 -0.46426887 1.22713203 -26.600647 70.309486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22714818-1.22713203) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22714818-1.22713203) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46431681--0.46426887) × cos(1.22714818) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.336924172740067 × 6371000     		do = 102.905314783074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46431681--0.46426887) × cos(1.22713203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.336939378434452 × 6371000     		du = 102.909958993534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22714818)-sin(1.22713203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336924172740067-0.336939378434452)×R²
    abs(-0.46426887--0.46431681)×1.52056943854562e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52056943854562e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52056943854562e-05×40589641000000     		ar = 10588.3365572145m²