Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55850 / 14286
↖ ↑ ↗
← N 80.202111°
W 26.603394°		 ← 51.98 m → N 80.202111°
W 26.600647°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.201643°
W 26.603394°		 ← 51.98 m →
2 702 m²		 N 80.201643°
W 26.600647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426105499267578 y=0.108997344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426105499267578 × 217)
    floor (0.426105499267578 × 131072)
    floor (55850.5)     		tx = 55850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108997344970703 × 217)
    floor (0.108997344970703 × 131072)
    floor (14286.5)     		ty = 14286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55850 / 14286 ti = "17/55850/14286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55850/14286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55850 ÷ 217
    55850 ÷ 131072     		x = 0.426101684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14286 ÷ 217
    14286 ÷ 131072     		y = 0.108993530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426101684570312 × 2 - 1) × π
    -0.147796630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46431681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108993530273438 × 2 - 1) × π
    0.782012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45676610552788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46431681} λ = -0.46431681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45676610552788))-π/2
    2×atan(11.6670205536105)-π/2
    2×1.48529361406207-π/2
    2.97058722812413-1.57079632675     		φ = 1.39979090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46431681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.603394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39979090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.202111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55850 KachelY 14286 -0.46431681 1.39979090 -26.603394 80.202111
    Oben rechts KachelX + 1 55851 KachelY 14286 -0.46426887 1.39979090 -26.600647 80.202111
    Unten links KachelX 55850 KachelY + 1 14287 -0.46431681 1.39978274 -26.603394 80.201643
    Unten rechts KachelX + 1 55851 KachelY + 1 14287 -0.46426887 1.39978274 -26.600647 80.201643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39979090-1.39978274) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39979090-1.39978274) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46431681--0.46426887) × cos(1.39979090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170173196721559 × 6371000     		do = 51.975274536874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46431681--0.46426887) × cos(1.39978274) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.170181237695507 × 6371000     		du = 51.9777304572923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39979090)-sin(1.39978274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170173196721559-0.170181237695507)×R²
    abs(-0.46426887--0.46431681)×8.04097394774272e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.04097394774272e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.04097394774272e-06×40589641000000     		ar = 2702.1211469088m²