Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55846 / 15655
↖ ↑ ↗
← N 79.541119°
W 26.614380°		 ← 55.44 m → N 79.541119°
W 26.611633°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.540621°
W 26.614380°		 ← 55.45 m →
3 073 m²		 N 79.540621°
W 26.611633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426074981689453 y=0.119441986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426074981689453 × 217)
    floor (0.426074981689453 × 131072)
    floor (55846.5)     		tx = 55846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119441986083984 × 217)
    floor (0.119441986083984 × 131072)
    floor (15655.5)     		ty = 15655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55846 / 15655 ti = "17/55846/15655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55846/15655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55846 ÷ 217
    55846 ÷ 131072     		x = 0.426071166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15655 ÷ 217
    15655 ÷ 131072     		y = 0.119438171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426071166992188 × 2 - 1) × π
    -0.147857666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46450856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119438171386719 × 2 - 1) × π
    0.761123657226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.39114048994802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46450856} λ = -0.46450856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39114048994802))-π/2
    2×atan(10.9259477735662)-π/2
    2×1.47952537422135-π/2
    2.9590507484427-1.57079632675     		φ = 1.38825442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46450856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.614380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38825442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.541119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55846 KachelY 15655 -0.46450856 1.38825442 -26.614380 79.541119
    Oben rechts KachelX + 1 55847 KachelY 15655 -0.46446062 1.38825442 -26.611633 79.541119
    Unten links KachelX 55846 KachelY + 1 15656 -0.46450856 1.38824572 -26.614380 79.540621
    Unten rechts KachelX + 1 55847 KachelY + 1 15656 -0.46446062 1.38824572 -26.611633 79.540621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38825442-1.38824572) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38825442-1.38824572) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46450856--0.46446062) × cos(1.38825442) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181529831319833 × 6371000     		do = 55.443883062963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46450856--0.46446062) × cos(1.38824572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181538386766277 × 6371000     		du = 55.4464961165241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38825442)-sin(1.38824572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181529831319833-0.181538386766277)×R²
    abs(-0.46446062--0.46450856)×8.5554464434312e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.5554464434312e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.5554464434312e-06×40589641000000     		ar = 3073.19933510136m²