Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55845 / 14302
N 80.194630°
W 26.617126°
← 52 m → N 80.194630°
W 26.614380°

51.99 m

51.99 m
N 80.194162°
W 26.617126°
← 52.01 m →
2 704 m²
N 80.194162°
W 26.614380°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426067352294922 y=0.109119415283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426067352294922 × 217)
    floor (0.426067352294922 × 131072)
    floor (55845.5)
    tx = 55845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109119415283203 × 217)
    floor (0.109119415283203 × 131072)
    floor (14302.5)
    ty = 14302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55845 / 14302 ti = "17/55845/14302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55845/14302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55845 ÷ 217
    55845 ÷ 131072
    x = 0.426063537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14302 ÷ 217
    14302 ÷ 131072
    y = 0.109115600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.426063537597656 × 2 - 1) × π
    -0.147872924804688 × 3.1415926535
    Λ = -0.46455649
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.109115600585938 × 2 - 1) × π
    0.781768798828125 × 3.1415926535
    Φ = 2.45599911513396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46455649} λ = -0.46455649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45599911513396))-π/2
    2×atan(11.658075491747)-π/2
    2×1.48522832879086-π/2
    2.97045665758172-1.57079632675
    φ = 1.39966033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46455649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.617126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39966033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.194630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55845 KachelY 14302 -0.46455649 1.39966033 -26.617126 80.194630
    Oben rechts KachelX + 1 55846 KachelY 14302 -0.46450856 1.39966033 -26.614380 80.194630
    Unten links KachelX 55845 KachelY + 1 14303 -0.46455649 1.39965217 -26.617126 80.194162
    Unten rechts KachelX + 1 55846 KachelY + 1 14303 -0.46450856 1.39965217 -26.614380 80.194162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.39966033-1.39965217) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000
    dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.39966033-1.39965217) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000
    dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46455649--0.46450856) × cos(1.39966033) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.17030186079855 × 6371000
    do = 52.0037219261942m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46455649--0.46450856) × cos(1.39965217) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170309901591114 × 6371000
    du = 52.0061772789343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.39966033)-sin(1.39965217))×
    abs(λ12)×abs(0.17030186079855-0.170309901591114)×
    abs(-0.46450856--0.46455649)×8.0407925636683e-06×
    4.79299999999738e-05×8.0407925636683e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.0407925636683e-06×40589641000000
    ar = 2703.60003668463m²