Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55844 / 15579
↖ ↑ ↗
← N 79.578944°
W 26.619873°		 ← 55.25 m → N 79.578944°
W 26.617126°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.578447°
W 26.619873°		 ← 55.25 m →
3 052 m²		 N 79.578447°
W 26.617126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426059722900391 y=0.118862152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426059722900391 × 217)
    floor (0.426059722900391 × 131072)
    floor (55844.5)     		tx = 55844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118862152099609 × 217)
    floor (0.118862152099609 × 131072)
    floor (15579.5)     		ty = 15579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55844 / 15579 ti = "17/55844/15579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55844/15579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55844 ÷ 217
    55844 ÷ 131072     		x = 0.426055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15579 ÷ 217
    15579 ÷ 131072     		y = 0.118858337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118858337402344 × 2 - 1) × π
    0.762283325195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39478369431915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46460443} λ = -0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39478369431915))-π/2
    2×atan(10.9658258321038)-π/2
    2×1.47985545768802-π/2
    2.95971091537604-1.57079632675     		φ = 1.38891459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38891459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.578944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55844 KachelY 15579 -0.46460443 1.38891459 -26.619873 79.578944
    Oben rechts KachelX + 1 55845 KachelY 15579 -0.46455649 1.38891459 -26.617126 79.578944
    Unten links KachelX 55844 KachelY + 1 15580 -0.46460443 1.38890592 -26.619873 79.578447
    Unten rechts KachelX + 1 55845 KachelY + 1 15580 -0.46455649 1.38890592 -26.617126 79.578447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38891459-1.38890592) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38891459-1.38890592) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46460443--0.46455649) × cos(1.38891459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180880590244594 × 6371000     		do = 55.2455881271196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46460443--0.46455649) × cos(1.38890592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180889117226705 × 6371000     		du = 55.248192486941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38891459)-sin(1.38890592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180880590244594-0.180889117226705)×R²
    abs(-0.46455649--0.46460443)×8.52698211151193e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.52698211151193e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.52698211151193e-06×40589641000000     		ar = 3051.6487236545m²