Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55843 / 86881
↖ ↑ ↗
← S 50.459253°
W 26.622620°		 ← 194.44 m → S 50.459253°
W 26.619873°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 50.461001°
W 26.622620°		 ← 194.44 m →
37 795 m²		 S 50.461001°
W 26.619873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426052093505859 y=0.662853240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426052093505859 × 217)
    floor (0.426052093505859 × 131072)
    floor (55843.5)     		tx = 55843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662853240966797 × 217)
    floor (0.662853240966797 × 131072)
    floor (86881.5)     		ty = 86881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55843 / 86881 ti = "17/55843/86881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55843/86881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55843 ÷ 217
    55843 ÷ 131072     		x = 0.426048278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86881 ÷ 217
    86881 ÷ 131072     		y = 0.662849426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426048278808594 × 2 - 1) × π
    -0.147903442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46465237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662849426269531 × 2 - 1) × π
    -0.325698852539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.0232131223901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46465237} λ = -0.46465237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0232131223901))-π/2
    2×atan(0.359438163924113)-π/2
    2×0.345058115419411-π/2
    0.690116230838821-1.57079632675     		φ = -0.88068010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46465237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.622620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88068010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.459253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55843 KachelY 86881 -0.46465237 -0.88068010 -26.622620 -50.459253
    Oben rechts KachelX + 1 55844 KachelY 86881 -0.46460443 -0.88068010 -26.619873 -50.459253
    Unten links KachelX 55843 KachelY + 1 86882 -0.46465237 -0.88071061 -26.622620 -50.461001
    Unten rechts KachelX + 1 55844 KachelY + 1 86882 -0.46460443 -0.88071061 -26.619873 -50.461001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88068010--0.88071061) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88068010--0.88071061) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46465237--0.46460443) × cos(-0.88068010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636626817374781 × 6371000     		do = 194.44221680041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46465237--0.46460443) × cos(-0.88071061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636603288619933 × 6371000     		du = 194.435030513049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88068010)-sin(-0.88071061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636626817374781-0.636603288619933)×R²
    abs(-0.46460443--0.46465237)×2.35287548486784e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35287548486784e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35287548486784e-05×40589641000000     		ar = 37794.8260628621m²