Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55842 / 86882
↖ ↑ ↗
← S 50.461001°
W 26.625366°		 ← 194.39 m → S 50.461001°
W 26.622620°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
S 50.462750°
W 26.625366°		 ← 194.39 m →
37 798 m²		 S 50.462750°
W 26.622620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426044464111328 y=0.662860870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426044464111328 × 217)
    floor (0.426044464111328 × 131072)
    floor (55842.5)     		tx = 55842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662860870361328 × 217)
    floor (0.662860870361328 × 131072)
    floor (86882.5)     		ty = 86882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55842 / 86882 ti = "17/55842/86882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55842/86882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55842 ÷ 217
    55842 ÷ 131072     		x = 0.426040649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86882 ÷ 217
    86882 ÷ 131072     		y = 0.662857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426040649414062 × 2 - 1) × π
    -0.147918701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46470030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662857055664062 × 2 - 1) × π
    -0.325714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02326105928972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46470030} λ = -0.46470030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02326105928972))-π/2
    2×atan(0.359420933985907)-π/2
    2×0.345042856743458-π/2
    0.690085713486916-1.57079632675     		φ = -0.88071061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46470030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.625366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88071061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.461001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55842 KachelY 86882 -0.46470030 -0.88071061 -26.625366 -50.461001
    Oben rechts KachelX + 1 55843 KachelY 86882 -0.46465237 -0.88071061 -26.622620 -50.461001
    Unten links KachelX 55842 KachelY + 1 86883 -0.46470030 -0.88074113 -26.625366 -50.462750
    Unten rechts KachelX + 1 55843 KachelY + 1 86883 -0.46465237 -0.88074113 -26.622620 -50.462750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88071061--0.88074113) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dl = 194.442920000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88071061--0.88074113) × R
    3.05200000000339e-05 × 6371000     		dr = 194.442920000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46470030--0.46465237) × cos(-0.88071061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636603288619933 × 6371000     		do = 194.394472517778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46470030--0.46465237) × cos(-0.88074113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.636579751560386 × 6371000     		du = 194.387285193494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88071061)-sin(-0.88074113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636603288619933-0.636579751560386)×R²
    abs(-0.46465237--0.46470030)×2.35370595461637e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35370595461637e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35370595461637e-05×40589641000000     		ar = 37797.9301091043m²