Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5584 / 3023
↖ ↑ ↗
← N 81.176176°
W118.652344°		 ← 187.39 m → N 81.176176°
W118.641358°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 81.174491°
W118.652344°		 ← 187.42 m →
35 114 m²		 N 81.174491°
W118.641358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.170425415039062 y=0.0922698974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.170425415039062 × 215)
    floor (0.170425415039062 × 32768)
    floor (5584.5)     		tx = 5584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922698974609375 × 215)
    floor (0.0922698974609375 × 32768)
    floor (3023.5)     		ty = 3023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5584 / 3023 ti = "15/5584/3023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5584/3023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5584 ÷ 215
    5584 ÷ 32768     		x = 0.17041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3023 ÷ 215
    3023 ÷ 32768     		y = 0.092254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.17041015625 × 2 - 1) × π
    -0.6591796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.07087406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092254638671875 × 2 - 1) × π
    0.81549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56193966329428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.07087406} λ = -2.07087406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56193966329428))-π/2
    2×atan(12.9609327954845)-π/2
    2×1.49379393983976-π/2
    2.98758787967952-1.57079632675     		φ = 1.41679155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.07087406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41679155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.176176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5584 KachelY 3023 -2.07087406 1.41679155 -118.652344 81.176176
    Oben rechts KachelX + 1 5585 KachelY 3023 -2.07068232 1.41679155 -118.641358 81.176176
    Unten links KachelX 5584 KachelY + 1 3024 -2.07087406 1.41676214 -118.652344 81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 5585 KachelY + 1 3024 -2.07068232 1.41676214 -118.641358 81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41679155-1.41676214) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41679155-1.41676214) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.07087406--2.07068232) × cos(1.41679155) × R
    0.000191739999999996 × 0.153396730996765 × 6371000     		do = 187.385694501604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.07087406--2.07068232) × cos(1.41676214) × R
    0.000191739999999996 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 187.421195755281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41679155)-sin(1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153396730996765-0.15342579285378)×R²
    abs(-2.07068232--2.07087406)×2.90618570153445e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90618570153445e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90618570153445e-05×40589641000000     		ar = 35113.991534083m²