Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5584 / 11824
↖ ↑ ↗
← S 62.103883°
W 57.304687°		 ← 1 143.11 m → S 62.103883°
W 57.282715°		 →
↑
1 142.89 m
↓
↑
1 142.89 m
↓
S 62.114161°
W 57.304687°		 ← 1 142.72 m →
1 306 228 m²		 S 62.114161°
W 57.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340850830078125 y=0.721710205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340850830078125 × 214)
    floor (0.340850830078125 × 16384)
    floor (5584.5)     		tx = 5584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721710205078125 × 214)
    floor (0.721710205078125 × 16384)
    floor (11824.5)     		ty = 11824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5584 / 11824 ti = "14/5584/11824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5584/11824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5584 ÷ 214
    5584 ÷ 16384     		x = 0.3408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11824 ÷ 214
    11824 ÷ 16384     		y = 0.7216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7216796875 × 2 - 1) × π
    -0.443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39285455536035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00015547} λ = -1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39285455536035))-π/2
    2×atan(0.248365319214149)-π/2
    2×0.243439549258596-π/2
    0.486879098517192-1.57079632675     		φ = -1.08391723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08391723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.103883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5584 KachelY 11824 -1.00015547 -1.08391723 -57.304687 -62.103883
    Oben rechts KachelX + 1 5585 KachelY 11824 -0.99977198 -1.08391723 -57.282715 -62.103883
    Unten links KachelX 5584 KachelY + 1 11825 -1.00015547 -1.08409662 -57.304687 -62.114161
    Unten rechts KachelX + 1 5585 KachelY + 1 11825 -0.99977198 -1.08409662 -57.282715 -62.114161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08391723--1.08409662) × R
    0.000179390000000001 × 6371000     		dl = 1142.89369000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08391723--1.08409662) × R
    0.000179390000000001 × 6371000     		dr = 1142.89369000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00015547--0.99977198) × cos(-1.08391723) × R
    0.000383489999999931 × 0.467869925240023 × 6371000     		do = 1143.10672114241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00015547--0.99977198) × cos(-1.08409662) × R
    0.000383489999999931 × 0.467711373308364 × 6371000     		du = 1142.719344718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08391723)-sin(-1.08409662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467869925240023-0.467711373308364)×R²
    abs(-0.99977198--1.00015547)×0.000158551931658812×R²
    0.000383489999999931×0.000158551931658812×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158551931658812×40589641000000     		ar = 1306228.09705637m²