Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55838 / 14312
↖ ↑ ↗
← N 80.189951°
W 26.636352°		 ← 52.03 m → N 80.189951°
W 26.633606°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.189483°
W 26.636352°		 ← 52.03 m →
2 705 m²		 N 80.189483°
W 26.633606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426013946533203 y=0.109195709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426013946533203 × 217)
    floor (0.426013946533203 × 131072)
    floor (55838.5)     		tx = 55838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109195709228516 × 217)
    floor (0.109195709228516 × 131072)
    floor (14312.5)     		ty = 14312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55838 / 14312 ti = "17/55838/14312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55838/14312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55838 ÷ 217
    55838 ÷ 131072     		x = 0.426010131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14312 ÷ 217
    14312 ÷ 131072     		y = 0.10919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426010131835938 × 2 - 1) × π
    -0.147979736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46489205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10919189453125 × 2 - 1) × π
    0.7816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45551974613776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46489205} λ = -0.46489205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45551974613776))-π/2
    2×atan(11.6524883110685)-π/2
    2×1.48518750043285-π/2
    2.97037500086569-1.57079632675     		φ = 1.39957867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46489205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.636352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39957867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.189951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55838 KachelY 14312 -0.46489205 1.39957867 -26.636352 80.189951
    Oben rechts KachelX + 1 55839 KachelY 14312 -0.46484412 1.39957867 -26.633606 80.189951
    Unten links KachelX 55838 KachelY + 1 14313 -0.46489205 1.39957051 -26.636352 80.189483
    Unten rechts KachelX + 1 55839 KachelY + 1 14313 -0.46484412 1.39957051 -26.633606 80.189483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39957867-1.39957051) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39957867-1.39957051) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46489205--0.46484412) × cos(1.39957867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170382327336497 × 6371000     		do = 52.0282933515688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46489205--0.46484412) × cos(1.39957051) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.170390368015551 × 6371000     		du = 52.0307486696474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39957867)-sin(1.39957051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170382327336497-0.170390368015551)×R²
    abs(-0.46484412--0.46489205)×8.04067905432748e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.04067905432748e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.04067905432748e-06×40589641000000     		ar = 2704.87743922179m²