Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55837 / 29037
↖ ↑ ↗
← N 70.277071°
W 26.639099°		 ← 103.07 m → N 70.277071°
W 26.636352°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.276144°
W 26.639099°		 ← 103.08 m →
10 625 m²		 N 70.276144°
W 26.636352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426006317138672 y=0.221538543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426006317138672 × 217)
    floor (0.426006317138672 × 131072)
    floor (55837.5)     		tx = 55837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221538543701172 × 217)
    floor (0.221538543701172 × 131072)
    floor (29037.5)     		ty = 29037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55837 / 29037 ti = "17/55837/29037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55837/29037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55837 ÷ 217
    55837 ÷ 131072     		x = 0.426002502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29037 ÷ 217
    29037 ÷ 131072     		y = 0.221534729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426002502441406 × 2 - 1) × π
    -0.147994995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.46493999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221534729003906 × 2 - 1) × π
    0.556930541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.74964889923243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46493999} λ = -0.46493999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74964889923243))-π/2
    2×atan(5.75258258523758)-π/2
    2×1.39868129824836-π/2
    2.79736259649671-1.57079632675     		φ = 1.22656627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46493999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.639099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22656627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.277071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55837 KachelY 29037 -0.46493999 1.22656627 -26.639099 70.277071
    Oben rechts KachelX + 1 55838 KachelY 29037 -0.46489205 1.22656627 -26.636352 70.277071
    Unten links KachelX 55837 KachelY + 1 29038 -0.46493999 1.22655009 -26.639099 70.276144
    Unten rechts KachelX + 1 55838 KachelY + 1 29038 -0.46489205 1.22655009 -26.636352 70.276144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22656627-1.22655009) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22656627-1.22655009) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46493999--0.46489205) × cos(1.22656627) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.337472002425546 × 6371000     		do = 103.072636070156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46493999--0.46489205) × cos(1.22655009) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.337487233190828 × 6371000     		du = 103.077287937913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22656627)-sin(1.22655009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337472002425546-0.337487233190828)×R²
    abs(-0.46489205--0.46493999)×1.5230765281371e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5230765281371e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5230765281371e-05×40589641000000     		ar = 10625.2536319091m²