Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55837 / 15595
↖ ↑ ↗
← N 79.570992°
W 26.639099°		 ← 55.29 m → N 79.570992°
W 26.636352°		 →
↑
55.24 m
↓
↑
55.24 m
↓
N 79.570495°
W 26.639099°		 ← 55.29 m →
3 054 m²		 N 79.570495°
W 26.636352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426006317138672 y=0.118984222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426006317138672 × 217)
    floor (0.426006317138672 × 131072)
    floor (55837.5)     		tx = 55837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118984222412109 × 217)
    floor (0.118984222412109 × 131072)
    floor (15595.5)     		ty = 15595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55837 / 15595 ti = "17/55837/15595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55837/15595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55837 ÷ 217
    55837 ÷ 131072     		x = 0.426002502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15595 ÷ 217
    15595 ÷ 131072     		y = 0.118980407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426002502441406 × 2 - 1) × π
    -0.147994995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.46493999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118980407714844 × 2 - 1) × π
    0.762039184570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39401670392522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46493999} λ = -0.46493999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39401670392522))-π/2
    2×atan(10.9574183736613)-π/2
    2×1.47978606468049-π/2
    2.95957212936099-1.57079632675     		φ = 1.38877580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46493999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.639099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38877580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.570992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55837 KachelY 15595 -0.46493999 1.38877580 -26.639099 79.570992
    Oben rechts KachelX + 1 55838 KachelY 15595 -0.46489205 1.38877580 -26.636352 79.570992
    Unten links KachelX 55837 KachelY + 1 15596 -0.46493999 1.38876713 -26.639099 79.570495
    Unten rechts KachelX + 1 55838 KachelY + 1 15596 -0.46489205 1.38876713 -26.636352 79.570495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38877580-1.38876713) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dl = 55.2365699995725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38877580-1.38876713) × R
    8.6699999999329e-06 × 6371000     		dr = 55.2365699995725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46493999--0.46489205) × cos(1.38877580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181017089169949 × 6371000     		do = 55.2872784124054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46493999--0.46489205) × cos(1.38876713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181025615934318 × 6371000     		du = 55.2898827057226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38877580)-sin(1.38876713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181017089169949-0.181025615934318)×R²
    abs(-0.46489205--0.46493999)×8.52676436896571e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.52676436896571e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.52676436896571e-06×40589641000000     		ar = 3053.95155005606m²