Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55832 / 87064
↖ ↑ ↗
← S 50.778155°
W 26.652832°		 ← 193.09 m → S 50.778155°
W 26.650086°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 50.779892°
W 26.652832°		 ← 193.08 m →
37 286 m²		 S 50.779892°
W 26.650086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425968170166016 y=0.664249420166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425968170166016 × 217)
    floor (0.425968170166016 × 131072)
    floor (55832.5)     		tx = 55832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664249420166016 × 217)
    floor (0.664249420166016 × 131072)
    floor (87064.5)     		ty = 87064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55832 / 87064 ti = "17/55832/87064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55832/87064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55832 ÷ 217
    55832 ÷ 131072     		x = 0.42596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87064 ÷ 217
    87064 ÷ 131072     		y = 0.66424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.3284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03198557502057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46517967} λ = -0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03198557502057))-π/2
    2×atan(0.356298799751947)-π/2
    2×0.342275164590909-π/2
    0.684550329181819-1.57079632675     		φ = -0.88624600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88624600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.778155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55832 KachelY 87064 -0.46517967 -0.88624600 -26.652832 -50.778155
    Oben rechts KachelX + 1 55833 KachelY 87064 -0.46513174 -0.88624600 -26.650086 -50.778155
    Unten links KachelX 55832 KachelY + 1 87065 -0.46517967 -0.88627631 -26.652832 -50.779892
    Unten rechts KachelX + 1 55833 KachelY + 1 87065 -0.46513174 -0.88627631 -26.650086 -50.779892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88624600--0.88627631) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88624600--0.88627631) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46517967--0.46513174) × cos(-0.88624600) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632324712067988 × 6371000     		do = 193.087957696141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46517967--0.46513174) × cos(-0.88627631) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632301230515513 × 6371000     		du = 193.08078732161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88624600)-sin(-0.88627631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632324712067988-0.632301230515513)×R²
    abs(-0.46513174--0.46517967)×2.34815524742249e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34815524742249e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34815524742249e-05×40589641000000     		ar = 37285.5596870134m²