Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55828 / 15681
↖ ↑ ↗
← N 79.528148°
W 26.663818°		 ← 55.51 m → N 79.528148°
W 26.661072°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.527649°
W 26.663818°		 ← 55.51 m →
3 081 m²		 N 79.527649°
W 26.661072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425937652587891 y=0.119640350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425937652587891 × 217)
    floor (0.425937652587891 × 131072)
    floor (55828.5)     		tx = 55828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119640350341797 × 217)
    floor (0.119640350341797 × 131072)
    floor (15681.5)     		ty = 15681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55828 / 15681 ti = "17/55828/15681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55828/15681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55828 ÷ 217
    55828 ÷ 131072     		x = 0.425933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15681 ÷ 217
    15681 ÷ 131072     		y = 0.119636535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.14813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46537142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119636535644531 × 2 - 1) × π
    0.760726928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3898941305579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46537142} λ = -0.46537142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3898941305579))-π/2
    2×atan(10.9123385986858)-π/2
    2×1.47941217916371-π/2
    2.95882435832743-1.57079632675     		φ = 1.38802803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46537142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.663818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38802803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55828 KachelY 15681 -0.46537142 1.38802803 -26.663818 79.528148
    Oben rechts KachelX + 1 55829 KachelY 15681 -0.46532348 1.38802803 -26.661072 79.528148
    Unten links KachelX 55828 KachelY + 1 15682 -0.46537142 1.38801932 -26.663818 79.527649
    Unten rechts KachelX + 1 55829 KachelY + 1 15682 -0.46532348 1.38801932 -26.661072 79.527649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38802803-1.38801932) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dl = 55.491410000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38802803-1.38801932) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dr = 55.491410000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46537142--0.46532348) × cos(1.38802803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181752455295395 × 6371000     		do = 55.5118781553764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46537142--0.46532348) × cos(1.38801932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181761020217498 × 6371000     		du = 55.5144941030479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38802803)-sin(1.38801932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181752455295395-0.181761020217498)×R²
    abs(-0.46532348--0.46537142)×8.56492210338233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.56492210338233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.56492210338233e-06×40589641000000     		ar = 3080.5049720222m²