Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55822 / 29039
↖ ↑ ↗
← N 70.275216°
W 26.680298°		 ← 103.06 m → N 70.275216°
W 26.677551°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.274289°
W 26.680298°		 ← 103.07 m →
10 624 m²		 N 70.274289°
W 26.677551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425891876220703 y=0.221553802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425891876220703 × 217)
    floor (0.425891876220703 × 131072)
    floor (55822.5)     		tx = 55822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221553802490234 × 217)
    floor (0.221553802490234 × 131072)
    floor (29039.5)     		ty = 29039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55822 / 29039 ti = "17/55822/29039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55822/29039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55822 ÷ 217
    55822 ÷ 131072     		x = 0.425888061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29039 ÷ 217
    29039 ÷ 131072     		y = 0.221549987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425888061523438 × 2 - 1) × π
    -0.148223876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46565904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221549987792969 × 2 - 1) × π
    0.556900024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.74955302543319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46565904} λ = -0.46565904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74955302543319))-π/2
    2×atan(5.7520310897271)-π/2
    2×1.39866512015682-π/2
    2.79733024031364-1.57079632675     		φ = 1.22653391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46565904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.680298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22653391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.275216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55822 KachelY 29039 -0.46565904 1.22653391 -26.680298 70.275216
    Oben rechts KachelX + 1 55823 KachelY 29039 -0.46561111 1.22653391 -26.677551 70.275216
    Unten links KachelX 55822 KachelY + 1 29040 -0.46565904 1.22651773 -26.680298 70.274289
    Unten rechts KachelX + 1 55823 KachelY + 1 29040 -0.46561111 1.22651773 -26.677551 70.274289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22653391-1.22651773) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dl = 103.082779998791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22653391-1.22651773) × R
    1.61799999998102e-05 × 6371000     		dr = 103.082779998791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46565904--0.46561111) × cos(1.22653391) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337502463867758 × 6371000     		do = 103.060437496723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46565904--0.46561111) × cos(1.22651773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337517694456332 × 6371000     		du = 103.065088340168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22653391)-sin(1.22651773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337502463867758-0.337517694456332)×R²
    abs(-0.46561111--0.46565904)×1.52305885740001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52305885740001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52305885740001e-05×40589641000000     		ar = 10623.996116338m²