Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55820 / 15676
↖ ↑ ↗
← N 79.530644°
W 26.685791°		 ← 55.50 m → N 79.530644°
W 26.683044°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.530145°
W 26.685791°		 ← 55.50 m →
3 080 m²		 N 79.530145°
W 26.683044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425876617431641 y=0.119602203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425876617431641 × 217)
    floor (0.425876617431641 × 131072)
    floor (55820.5)     		tx = 55820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119602203369141 × 217)
    floor (0.119602203369141 × 131072)
    floor (15676.5)     		ty = 15676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55820 / 15676 ti = "17/55820/15676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55820/15676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55820 ÷ 217
    55820 ÷ 131072     		x = 0.425872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15676 ÷ 217
    15676 ÷ 131072     		y = 0.119598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.14825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46575492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119598388671875 × 2 - 1) × π
    0.76080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.390133815056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46575492} λ = -0.46575492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.390133815056))-π/2
    2×atan(10.9149544305605)-π/2
    2×1.47943395821986-π/2
    2.95886791643972-1.57079632675     		φ = 1.38807159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46575492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38807159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.530644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55820 KachelY 15676 -0.46575492 1.38807159 -26.685791 79.530644
    Oben rechts KachelX + 1 55821 KachelY 15676 -0.46570698 1.38807159 -26.683044 79.530644
    Unten links KachelX 55820 KachelY + 1 15677 -0.46575492 1.38806288 -26.685791 79.530145
    Unten rechts KachelX + 1 55821 KachelY + 1 15677 -0.46570698 1.38806288 -26.683044 79.530145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38807159-1.38806288) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dl = 55.4914099994384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38807159-1.38806288) × R
    8.70999999991184e-06 × 6371000     		dr = 55.4914099994384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46575492--0.46570698) × cos(1.38807159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181709620644542 × 6371000     		do = 55.4987953505063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46575492--0.46570698) × cos(1.38806288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181718185635597 × 6371000     		du = 55.5014113192374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38807159)-sin(1.38806288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181709620644542-0.181718185635597)×R²
    abs(-0.46570698--0.46575492)×8.56499105494901e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.56499105494901e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.56499105494901e-06×40589641000000     		ar = 3079.77898921905m²