Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5582 / 11828
↖ ↑ ↗
← S 62.144976°
W 57.348633°		 ← 1 141.56 m → S 62.144976°
W 57.326660°		 →
↑
1 141.36 m
↓
↑
1 141.36 m
↓
S 62.155241°
W 57.348633°		 ← 1 141.17 m →
1 302 713 m²		 S 62.155241°
W 57.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340728759765625 y=0.721954345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340728759765625 × 214)
    floor (0.340728759765625 × 16384)
    floor (5582.5)     		tx = 5582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721954345703125 × 214)
    floor (0.721954345703125 × 16384)
    floor (11828.5)     		ty = 11828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5582 / 11828 ti = "14/5582/11828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5582/11828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5582 ÷ 214
    5582 ÷ 16384     		x = 0.3406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11828 ÷ 214
    11828 ÷ 16384     		y = 0.721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.00092246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39438853614819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00092246} λ = -1.00092246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39438853614819))-π/2
    2×atan(0.2479846236506)-π/2
    2×0.243080940692729-π/2
    0.486161881385458-1.57079632675     		φ = -1.08463445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00092246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08463445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.144976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5582 KachelY 11828 -1.00092246 -1.08463445 -57.348633 -62.144976
    Oben rechts KachelX + 1 5583 KachelY 11828 -1.00053897 -1.08463445 -57.326660 -62.144976
    Unten links KachelX 5582 KachelY + 1 11829 -1.00092246 -1.08481360 -57.348633 -62.155241
    Unten rechts KachelX + 1 5583 KachelY + 1 11829 -1.00053897 -1.08481360 -57.326660 -62.155241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08463445--1.08481360) × R
    0.000179149999999906 × 6371000     		dl = 1141.3646499994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08463445--1.08481360) × R
    0.000179149999999906 × 6371000     		dr = 1141.3646499994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00092246--1.00053897) × cos(-1.08463445) × R
    0.000383489999999931 × 0.467235927831058 × 6371000     		do = 1141.55772929601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00092246--1.00053897) × cos(-1.08481360) × R
    0.000383489999999931 × 0.4670775279652 × 6371000     		du = 1141.17072440101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08463445)-sin(-1.08481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467235927831058-0.4670775279652)×R²
    abs(-1.00053897--1.00092246)×0.000158399865857695×R²
    0.000383489999999931×0.000158399865857695×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158399865857695×40589641000000     		ar = 1302712.78478312m²