Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55816 / 15847
↖ ↑ ↗
← N 79.444956°
W 26.696777°		 ← 55.94 m → N 79.444956°
W 26.694031°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.444453°
W 26.696777°		 ← 55.94 m →
3 129 m²		 N 79.444453°
W 26.694031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425846099853516 y=0.120906829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425846099853516 × 217)
    floor (0.425846099853516 × 131072)
    floor (55816.5)     		tx = 55816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120906829833984 × 217)
    floor (0.120906829833984 × 131072)
    floor (15847.5)     		ty = 15847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55816 / 15847 ti = "17/55816/15847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55816/15847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55816 ÷ 217
    55816 ÷ 131072     		x = 0.42584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15847 ÷ 217
    15847 ÷ 131072     		y = 0.120903015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46594666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120903015136719 × 2 - 1) × π
    0.758193969726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38193660522097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46594666} λ = -0.46594666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38193660522097))-π/2
    2×atan(10.8258479698843)-π/2
    2×1.4786861928267-π/2
    2.95737238565341-1.57079632675     		φ = 1.38657606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46594666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38657606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.444956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55816 KachelY 15847 -0.46594666 1.38657606 -26.696777 79.444956
    Oben rechts KachelX + 1 55817 KachelY 15847 -0.46589873 1.38657606 -26.694031 79.444956
    Unten links KachelX 55816 KachelY + 1 15848 -0.46594666 1.38656728 -26.696777 79.444453
    Unten rechts KachelX + 1 55817 KachelY + 1 15848 -0.46589873 1.38656728 -26.694031 79.444453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38657606-1.38656728) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38657606-1.38656728) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46594666--0.46589873) × cos(1.38657606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183180049654328 × 6371000     		do = 55.9362318179805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46594666--0.46589873) × cos(1.38656728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183188681084233 × 6371000     		du = 55.9388675289381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38657606)-sin(1.38656728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183180049654328-0.183188681084233)×R²
    abs(-0.46589873--0.46594666)×8.63142990495391e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.63142990495391e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.63142990495391e-06×40589641000000     		ar = 3128.99997242275m²