Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55812 / 14340
↖ ↑ ↗
← N 80.176839°
W 26.707764°		 ← 52.10 m → N 80.176839°
W 26.705017°		 →
↑
52.11 m
↓
↑
52.11 m
↓
N 80.176371°
W 26.707764°		 ← 52.10 m →
2 715 m²		 N 80.176371°
W 26.705017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425815582275391 y=0.109409332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425815582275391 × 217)
    floor (0.425815582275391 × 131072)
    floor (55812.5)     		tx = 55812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109409332275391 × 217)
    floor (0.109409332275391 × 131072)
    floor (14340.5)     		ty = 14340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55812 / 14340 ti = "17/55812/14340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55812/14340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55812 ÷ 217
    55812 ÷ 131072     		x = 0.425811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14340 ÷ 217
    14340 ÷ 131072     		y = 0.109405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.14837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46613841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109405517578125 × 2 - 1) × π
    0.78118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45417751294839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46613841} λ = -0.46613841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45417751294839))-π/2
    2×atan(11.6368584463269)-π/2
    2×1.48507307837819-π/2
    2.97014615675638-1.57079632675     		φ = 1.39934983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46613841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39934983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.176839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55812 KachelY 14340 -0.46613841 1.39934983 -26.707764 80.176839
    Oben rechts KachelX + 1 55813 KachelY 14340 -0.46609048 1.39934983 -26.705017 80.176839
    Unten links KachelX 55812 KachelY + 1 14341 -0.46613841 1.39934165 -26.707764 80.176371
    Unten rechts KachelX + 1 55813 KachelY + 1 14341 -0.46609048 1.39934165 -26.705017 80.176371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39934983-1.39934165) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dl = 52.1147800001547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39934983-1.39934165) × R
    8.18000000002428e-06 × 6371000     		dr = 52.1147800001547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46613841--0.46609048) × cos(1.39934983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170607816781706 × 6371000     		do = 52.0971492663616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46613841--0.46609048) × cos(1.39934165) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170615876849134 × 6371000     		du = 52.0996105049134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39934983)-sin(1.39934165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170607816781706-0.170615876849134)×R²
    abs(-0.46609048--0.46613841)×8.06006742798404e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.06006742798404e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.06006742798404e-06×40589641000000     		ar = 2715.0956059249m²