Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55807 / 14755
↖ ↑ ↗
← N 79.980457°
W 26.721497°		 ← 53.14 m → N 79.980457°
W 26.718750°		 →
↑
53.13 m
↓
↑
53.13 m
↓
N 79.979979°
W 26.721497°		 ← 53.14 m →
2 824 m²		 N 79.979979°
W 26.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425777435302734 y=0.112575531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425777435302734 × 217)
    floor (0.425777435302734 × 131072)
    floor (55807.5)     		tx = 55807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112575531005859 × 217)
    floor (0.112575531005859 × 131072)
    floor (14755.5)     		ty = 14755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55807 / 14755 ti = "17/55807/14755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55807/14755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55807 ÷ 217
    55807 ÷ 131072     		x = 0.425773620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14755 ÷ 217
    14755 ÷ 131072     		y = 0.112571716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425773620605469 × 2 - 1) × π
    -0.148452758789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46637810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112571716308594 × 2 - 1) × π
    0.774856567382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43428369960607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46637810} λ = -0.46637810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43428369960607))-π/2
    2×atan(11.4076444858762)-π/2
    2×1.48335931985199-π/2
    2.96671863970399-1.57079632675     		φ = 1.39592231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46637810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.721497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39592231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.980457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55807 KachelY 14755 -0.46637810 1.39592231 -26.721497 79.980457
    Oben rechts KachelX + 1 55808 KachelY 14755 -0.46633016 1.39592231 -26.718750 79.980457
    Unten links KachelX 55807 KachelY + 1 14756 -0.46637810 1.39591397 -26.721497 79.979979
    Unten rechts KachelX + 1 55808 KachelY + 1 14756 -0.46633016 1.39591397 -26.718750 79.979979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39592231-1.39591397) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dl = 53.1341399996181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39592231-1.39591397) × R
    8.33999999994006e-06 × 6371000     		dr = 53.1341399996181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46637810--0.46633016) × cos(1.39592231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173984077206701 × 6371000     		do = 53.1392155291003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46637810--0.46633016) × cos(1.39591397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173992290002854 × 6371000     		du = 53.1417239284431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39592231)-sin(1.39591397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173984077206701-0.173992290002854)×R²
    abs(-0.46633016--0.46637810)×8.21279615376147e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.21279615376147e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.21279615376147e-06×40589641000000     		ar = 2823.57315814638m²