Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55806 / 15876
↖ ↑ ↗
← N 79.430356°
W 26.724243°		 ← 56.01 m → N 79.430356°
W 26.721497°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.429852°
W 26.724243°		 ← 56.02 m →
3 137 m²		 N 79.429852°
W 26.721497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425769805908203 y=0.121128082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425769805908203 × 217)
    floor (0.425769805908203 × 131072)
    floor (55806.5)     		tx = 55806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121128082275391 × 217)
    floor (0.121128082275391 × 131072)
    floor (15876.5)     		ty = 15876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55806 / 15876 ti = "17/55806/15876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55806/15876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55806 ÷ 217
    55806 ÷ 131072     		x = 0.425765991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15876 ÷ 217
    15876 ÷ 131072     		y = 0.121124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425765991210938 × 2 - 1) × π
    -0.148468017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46642603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121124267578125 × 2 - 1) × π
    0.75775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38054643513199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46642603} λ = -0.46642603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38054643513199))-π/2
    2×atan(10.810808655873)-π/2
    2×1.47855878007-π/2
    2.95711756014001-1.57079632675     		φ = 1.38632123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46642603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.724243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38632123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.430356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55806 KachelY 15876 -0.46642603 1.38632123 -26.724243 79.430356
    Oben rechts KachelX + 1 55807 KachelY 15876 -0.46637810 1.38632123 -26.721497 79.430356
    Unten links KachelX 55806 KachelY + 1 15877 -0.46642603 1.38631244 -26.724243 79.429852
    Unten rechts KachelX + 1 55807 KachelY + 1 15877 -0.46637810 1.38631244 -26.721497 79.429852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38632123-1.38631244) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38632123-1.38631244) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46642603--0.46637810) × cos(1.38632123) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.183430561822581 × 6371000     		do = 56.0127287221534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46642603--0.46637810) × cos(1.38631244) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.183439202672659 × 6371000     		du = 56.0153673096738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38632123)-sin(1.38631244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183430561822581-0.183439202672659)×R²
    abs(-0.46637810--0.46642603)×8.64085007717952e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.64085007717952e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.64085007717952e-06×40589641000000     		ar = 3136.84774424955m²